一个等差数列的首项和末项分别为 5 和 45。如果所有项的和为 400，求它的公差。

已知：一个等差数列，首项和末项分别为 5 和 45。所有项的和 = 400。

求解：求它的公差。

设 $a$ 为首项，$d$ 为公差。

假设给定的等差数列有 $n$ 项。

根据题意，

首项 $a=5$

末项 $l=45$

等差数列的和 $S_{n}=400$

$n=?$

根据题设条件，

末项 $l=a_{n}=a+(n-1)d$

$\Rightarrow 45=5+(n-1)d$

$\Rightarrow ( n-1) d=40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .................( 1)$

所有项的和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

$\Rightarrow \frac{n}{2}[ 2\times 5+40] =400 \ \ \ \ \ ( \because ( n-1) d=40\ from\ ( 1)$

$\Rightarrow 50n=800$

$\Rightarrow n=\frac{800}{50} =16$

$n=16$，将 $n$ 的值代入 $( 1)$，

$( 16-1) d=40$

$\Rightarrow 15d=40$

$\Rightarrow d=\frac{40}{15}$

$\Rightarrow d=\frac{8}{3}$

因此，给定等差数列的公差为 $\frac{8}{3} $。