等差数列(AP)前五项的和与该等差数列前七项的和之和为167。如果该等差数列前十项的和为235，求其前二十项的和。

已知

等差数列(AP)前五项的和与前七项的和之和为167。

该等差数列前十项的和为235。

要求

我们需要求出该等差数列前20项的和。

解题过程

设首项为a，公差为d。

我们知道：

n项和 $S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

$S_{5} = \frac{5}{2}[2(a) + (5-1)d]$

$= \frac{5}{2}(2a + 4d)$

$= 5a + 10d$

$S_{7} = \frac{7}{2}[2(a) + (7-1)d]$

$= \frac{7}{2}(2a + 6d)$

$= 7a + 21d$

根据题意：

$S_5 + S_7 = (5a + 10d) + (7a + 21d)$

$167 = 12a + 31d$ ……(i)

$S_{10} = \frac{10}{2}[2(a) + (10-1)d]$

$235 = 5(2a + 9d)$

$47 = 2a + 9d$ ……(ii)

将(ii)式乘以6，然后从(i)式中减去，得到：

$(12a + 31d) - 6(2a + 9d) = 167 - 6(47)$

$12a - 12a + 31d - 54d = 167 - 282$

$-23d = -115$

$d = \frac{-115}{-23}$

$d = 5$

这意味着：

$2a = 47 - 9(5)$ [来自(ii)式]

$2a = 47 - 45$

$a = \frac{2}{2}$

$a = 1$

前20项的和 $S_{20} = \frac{20}{2}[2(1) + (20-1)5]$

$=10[2+19(5)]$

$=10(2+95)$

$=10(97)$

$=970$

因此，前20项的和为970。

教程点

更新于：2022年10月10日

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