一个等差数列的第三项和第七项之和为6，它们的积为8。求这个等差数列前16项的和？

已知

一个等差数列的第三项和第七项之和为6，它们的积为8。

要求

我们必须找到这个等差数列前16项的和。

解答

设 $a$ 和 $d$ 分别为等差数列的第一项和公差。

这意味着，

形成的等差数列为 $a, (a+d), (a+2 d), \ldots$

$a_{3}+a_{7}=6$

$(a+2 d)+(a+6 d)=6$

$2a+8d=6$

$a+4d=3$

$a=3-4d$

$a_{3} \times a_{7}=8$

$(a+2 d)(a+6 d)=8$

$[(3-4 d)+2 d][(3-4 d)+6 d]=8$

$(3-2 d)(3+2 d)=8$

$9-4 d^{2}=8$

$d^{2}=\frac{1}{4}$

$d^2=(\frac{1}{2})^{2}$

$d=\pm \frac{1}{2}$

如果 $d=\frac{1}{2}, a=3-4 \times \frac{1}{2}=1$

因此，

$S_{16}=\frac{16}{2}[2 \times 1+(16-1) \times \frac{1}{2}]$

$=8[2+\frac{15}{2}]$

$=8[\frac{19}{2}]$

$=76$

如果 $d=-\frac{1}{2}, a=3-4 \times (-\frac{1}{2})=3+2=5$

因此，

$S_{16}=\frac{16}{2}[2 \times 5+(16-1) \times \frac{-1}{2}]$

$=8[10+(\frac{-15}{2})]$

$=8[10-\frac{15}{2}]$

$=8 \times \frac{5}{2}$

$=20$

因此，给定等差数列前16项的和为20或76。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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