一个等差数列（AP）的第 5 项和第 9 项之和为 30，且第 25 项是第 8 项的三倍。求这个等差数列。

已知

一个等差数列的第 5 项和第 9 项之和为 30。

第 25 项是其第 8 项的三倍。 

要求

我们需要找到这个等差数列。

解答： 

设这个等差数列的第一项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

第 n 项  $a_n=a+(n-1)d$

第 5 项 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$

第 9 项 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$

$a+4d+a+8d=30$   （已知）

$2a+12d=30$

$2(a+6d)=2(15)$

$a+6d=15$

$a=15-6d$....(i)

第 8 项 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$

第 25 项 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$

$a+24d=3(a+7d)$   （已知）

$a+24d=3a+21d$

$3a-a=24d-21d$

$2a=3d$

$2(15-6d)=3d$   （由 (i) 得）

$30-12d=3d$

$30=12d+3d$

$15d=30$

$d=\frac{30}{15}$

$d=2$

因此，

$a=15-6(2)=15-12=3$

$a_2=a+d=3+2=5$

$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$

$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$

所需的等差数列是 $3, 5, 7, 9, .....$。 

教程点

更新于： 2022年10月10日

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