一个等差数列的第 5 项和第 9 项之和为 30。如果它的第 25 项是其第 8 项的三倍，求这个等差数列。

已知

一个等差数列的第 5 项和第 9 项之和为 30。

第 25 项是其第 8 项的三倍。
要求：

我们需要找到这个等差数列。

解答
设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。

这意味着，

第 n 项 $=a+(n-1)d$

第 5 项$=a+(5-1)d=a+4d$

第 9 项$=a+(9-1)d=a+8d$

$a+4d+a+8d=30$    (已知)

$2a+12d=30$

$2(a+6d)=2(15)$

$a+6d=15$

$a=15-6d$....(i)

第 8 项$=a+(8-1)d=a+7d$

第 25 项$=a+(25-1)d=a+24d$

$a+24d=3(a+7d)$   (已知)

$a+24d=3a+21d$

$3a-a=24d-21d$

$2a=3d$

$2(15-6d)=3d$   (来自 (i))

$30-12d=3d$

$30=12d+3d$

$15d=30$

$d=\frac{30}{15}$

$d=2$

因此，

$a=15-6(2)=15-12=3$

$a+d=3+2=5$

$a+2d=3+2(2)=3+4=7$

所求等差数列为 $3, 5, 7, .....$。

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更新于： 2022年10月10日

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