等差数列（AP）的第5项和第9项之和为30。如果它的第25项是其第8项的三倍，求该等差数列。

已知条件

等差数列的第5项和第9项之和为30。

第25项是其第8项的三倍。 

解题步骤

我们需要求出该等差数列。

解答： 

设该等差数列的首项为$a$，公差为$d$。

我们知道：

第n项 $a_n=a+(n-1)d$

第5项 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$

第9项 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$

$a+4d+a+8d=30$ (已知)

$2a+12d=30$

$2(a+6d)=2(15)$

$a+6d=15$

$a=15-6d$....(i)

第8项 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$

第25项 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$

$a+24d=3(a+7d)$ (已知)

$a+24d=3a+21d$

$3a-a=24d-21d$

$2a=3d$

$2(15-6d)=3d$ (由(i)式)

$30-12d=3d$

$30=12d+3d$

$15d=30$

$d=\frac{30}{15}$

$d=2$

因此：

$a=15-6(2)=15-12=3$

$a_2=a+d=3+2=5$

$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$

$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$

所以，该等差数列为 $3, 5, 7, 9, .....$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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