一个算术数列的第 19 项等于其第 6 项的 3 倍。如果其第 9 项为 19，求这个算术数列。

已知

一个算术数列的第 19 项等于其第 6 项的 3 倍。

第 9 项 $=19$

要求

我们需要找到这个算术数列。

解答

设所求算术数列为 $a, a+d, a+2d, ......$

这里，

$a_1=a, a_2=a+d$ 且公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我们知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{9}=a+(9-1)d$

$19=a+8d$

$a=19-8d$.....(i)

$a_{19}=a+(19-1)d$

$=a+18d$

$a_{6}=a+(6-1)d$

$=a+5d$

根据题意，

$a_{19}=3\times a_6$

$a+18d=3(a+5d)$

$a+18d=3a+15d$

$3a-a=18d-15d$

$2a=3d$

$2(19-8d)=3d$    (由 (i) 得)

$38-16d=3d$

$16d+3d=38$

$19d=38$

$d=2$

这意味着，

$a=19-8(2)$

$=19-16$

$=3$

因此，

$a_1=3$

$a_2=a+d=3+2=5$

$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$

$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$

因此，所求算术数列为 $3, 5, 7, 9,......$

教程点

更新于: 2022年10月10日

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