如果一个等差数列的第 7 项是 $\frac{1}{9}$，第 9 项是 $\frac{1}{7}$，求它的第 63 项。

已知

等差数列的第 7 项是 $\frac{1}{9}$，第 9 项是 $\frac{1}{7}$。

要求

我们必须找到给定等差数列的第 63 项。

解答

设 $a$ 为给定等差数列的首项，$d$ 为公差。

我们知道，

等差数列的第 $n$ 项 $a_{n} =a+( n-1) d$

给定等差数列的第 7 项 $a_{7} =a+( 7-1) d$

$\Rightarrow \frac{1}{9} =a+6d\ \ \ \ ...........( 1)$

类似地，

给定等差数列的第 9 项 $a_{9} =a+( 9-1) d$

$\frac{1}{7} =a+8d\ \ \ \ \ \ \ \ \ .............( 2)$

从 $( 1)$ 中减去 $( 2)$

$a+8d-a-6d=\frac{1}{7} -\frac{1}{9}$

$\Rightarrow 2d=\frac{2}{63}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{63}$,

将 $d$ 的值代入 $( 1)$，得到：

$\frac{1}{9} =a+6\times \frac{1}{63}$

$\Rightarrow a=\frac{1}{9} -\frac{6}{63}$

$\Rightarrow a=\frac{7-6}{63} =\frac{1}{63}$

给定等差数列的第 63 项 $a_{63}=a+( 63-1) d$

$a_{63} =\frac{1}{63} +62\times \frac{1}{63}$

$a_{63} =\frac{1}{63} +\frac{62}{63}$

$a_{63} =\frac{63}{63} =1$

因此，给定等差数列的第 63 项是 1。 

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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