一个等差数列前 9 项的和为 162。它的第 6 项与第 13 项之比为 1:2。求该等差数列的首项和第 15 项。

已知

一个等差数列前 9 项的和为 162。它的第 6 项与第 13 项之比为 1:2。

要求

我们需要求出该等差数列的首项和第 15 项。

解答

设该等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{6}=a+(6-1)d$

$=a+5d$......(i)

$a_{13}=a+(13-1)d$

$=a+12d$......(ii)

根据题意，

$a_6 : a_{13}=(a+5d): (a+12d)$

$\frac{1}{2}=\frac{a+5d}{a+12d}$

$1(a+12d)=2(a+5d)$

$a+12d=2a+10d$

$2a-a=12d-10d$

$a=2d$......(iii)

等差数列前 n 项的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_9=\frac{9}{2}(2a+(9-1)d)$

$162=\frac{9}{2}(2a+8d)$

$18=a+4d$

$18=2d+4d$     (由 (iii) 得)

$6d=18$

$d=\frac{18}{6}$

$d=3$

因此，

$a=2(3)$

$a=6$

$\Rightarrow a_{15}=a+(15-1)d$

$=6+14(3)$

$=6+42$

$=48$

因此，该等差数列的首项和第 15 项分别为 6 和 48。   

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更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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