等差数列（AP）的第 5 项是 22，第 9 项是第 2 项的六倍。求这个等差数列。

已知

等差数列的第 9 项等于其第 2 项的 6 倍。

第 5 项 = 22

要求

我们需要找到这个等差数列。

解答

设所需的等差数列为 $a, a+d, a+2d, ......$

这里，

$a_1=a, a_2=a+d$，公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我们知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{5}=a+(5-1)d$

$22=a+4d$

$a=22-4d$.....(i)

$a_{9}=a+(9-1)d$

$=a+8d$

$a_{2}=a+(2-1)d$

$=a+d$

根据题意，

$a_{9}=6\times a_2$

$a+8d=6(a+d)$

$a+8d=6a+6d$

$6a-a=8d-6d$

$5a=2d$

$5(22-4d)=2d$ (来自 (i))

$110-20d=2d$

$20d+2d=110$

$22d=110$

$d=\frac{110}{22}=5$

这意味着，

$a=22-4(5)$

$=22-20$

$=2$

因此，

$a_1=2$

$a_2=a+d=2+5=7$

$a_3=a+2d=2+2(5)=2+10=12$

$a_4=a+3d=2+3(5)=2+15=17$

因此，所需的等差数列是 $2, 7, 12, 17,......$。

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更新于：2022年10月10日

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