一个等差数列的第 4 项和第 8 项的和为 24。类似地，它的第 6 项和第 10 项的和为 34。求这个等差数列的首项 \( a \) 和公差 \( d \)。

已知

一个等差数列的第 4 项和第 8 项的和为 24，第 6 项和第 10 项的和为 34。

要求

我们需要求出这个等差数列的首项 \( a \) 和公差 \( d \)。

解

设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。

我们知道，

等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$......(i)

$a_{8}=a+(8-1)d$

$=a+7d$......(ii)

根据题意，

$a_4+a_8=a+3d+a+7d$

$24=2a+10d$

$24=2(a+5d)$ 

$12=a+5d$

$a=12-5d$......(iii)

$a_{6}=a+(6-1)d$

$=a+5d$......(iv)

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$......(v)

根据题意，

$a_6+a_{10}=a+5d+a+9d$

$34=2a+14d$

$34=2(a+7d)$ 

$17=a+7d$

$7d=17-(12-5d)$        (由 (iii) 得)

$7d=17-12+5d$

$7d-5d=5$

$2d=5$

$d=\frac{5}{2}$

这意味着，

$a=12-5(\frac{5}{2})$

$a=12-\frac{25}{2}$

$a=\frac{12\times2-25}{2}$

$a=\frac{24-25}{2}$

$a=\frac{-1}{2}$

因此，给定等差数列的首项($a$)和公差($d$)分别为 $\frac{-1}{2}$ 和 $\frac{5}{2}$。   

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更新时间： 2022-10-10

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