一个等差数列的第 8 项是其第 2 项的一半，第 11 项比其第 4 项的三分之一多 1。求第 15 项。

已知

一个等差数列的第 8 项是其第 2 项的一半，第 11 项比其第 4 项的三分之一多 1。

要求

我们必须找到第 15 项。

解答

设给定等差数列的首项、公差和项数分别为 $a, d$ 和 $n$。

我们知道，

等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{8}=a+(8-1)d$

$=a+7d$.....(i)

$a_{2}=a+(2-1)d$

$=a+d$....(ii)

根据题意，

$a_{8}=\frac{1}{2}a_2$

$a+7d=\frac{1}{2}(a+d)$

$2(a+7d)=a+d$

$2a+14d-a-d=0$

$a+13d=0$

$a=-13d$....(iii)

$a_{11}=a+(11-1)d$

$=a+10d$.....(iv)

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$....(v)

根据题意，

$a_{11}=\frac{1}{3}a_4+1$

$a+10d=\frac{1}{3}(a+3d)+1$

$a+10d=\frac{a+3d+1\times3}{3}$

$3(a+10d)=a+3d+3$

$3a+30d-a-3d-3=0$

$2a+27d-3=0$

$2(-13d)+27d-3=0$         (由 (iii) 式可得)

$-26d+27d-3=0$

$d=3$

将 $d=3$ 代入 (iii) 式，得到，

$a=-13(3)$

$a=-39$

第 15 项 $a_15=a+(15-1)d$

$=-39+14(3)$

$=-39+42$

$=3$

第 15 项是 3。 

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更新于: 2022 年 10 月 10 日

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