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法律研究一个等差数列的第 8 项是其第 2 项的一半，第 11 项比其第 4 项的三分之一多 1。求第 15 项。
已知
一个等差数列的第 8 项是其第 2 项的一半，第 11 项比其第 4 项的三分之一多 1。
要求
我们必须找到第 15 项。
解答
设给定等差数列的首项、公差和项数分别为 $a, d$ 和 $n$。
我们知道，
等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$
因此，
$a_{8}=a+(8-1)d$
$=a+7d$.....(i)
$a_{2}=a+(2-1)d$
$=a+d$....(ii)
根据题意，
$a_{8}=\frac{1}{2}a_2$
$a+7d=\frac{1}{2}(a+d)$
$2(a+7d)=a+d$
$2a+14d-a-d=0$
$a+13d=0$
$a=-13d$....(iii)
$a_{11}=a+(11-1)d$
$=a+10d$.....(iv)
$a_{4}=a+(4-1)d$
$=a+3d$....(v)
根据题意，
$a_{11}=\frac{1}{3}a_4+1$
$a+10d=\frac{1}{3}(a+3d)+1$
$a+10d=\frac{a+3d+1\times3}{3}$
$3(a+10d)=a+3d+3$
$3a+30d-a-3d-3=0$
$2a+27d-3=0$
$2(-13d)+27d-3=0$ (由 (iii) 式可得)
$-26d+27d-3=0$
$d=3$
将 $d=3$ 代入 (iii) 式，得到，
$a=-13(3)$
$a=-39$
第 15 项 $a_15=a+(15-1)d$
$=-39+14(3)$
$=-39+42$
$=3$
第 15 项是 3。
更新于: 2022 年 10 月 10 日
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