等差数列(A.P.)的第4项是第一项的三倍，第7项比第三项的两倍多1。求第一项和公差。

已知

等差数列的第4项是第一项的三倍，第7项比第三项的两倍多1。

要求

我们必须找到第一项和公差。

解答

设给定等差数列的第一项、公差和项数分别为$a, d$和$n$。

我们知道：

等差数列的第n项 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

第一项 $a_1=a$

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$.....(i)

$a_{7}=a+(7-1)d$

$=a+6d$....(ii)

$a_{3}=a+(3-1)d$

$=a+2d$....(iii)

根据题意：

$a_4=3\times a_1$

$a+3d=3a$

$3a-a=3d$

$2a=3d$

$a=\frac{3d}{2}$....(iv)

$a_7=2\times a_3+1$

$a+6d=2(a+2d)+1$

$a+6d=2a+4d+1$

$2a-a+1=6d-4d$

$a+1=2d$

$\frac{3d}{2}+1=2d$

$\frac{3d+2}{2}=2d$

$3d+2=2(2d)$

$3d+2=4d$

$4d-3d=2$

$d=2$....(v)

将$d=2$代入(iv)，得到：

$a=\frac{3(2)}{2}$

$a=3$

第一项是3，公差是2。

教程点

更新于：2022年10月10日

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