等差数列的第三项是7，第七项比第三项的三倍多2。求该数列的首项、公差和前20项的和。

已知

等差数列的第三项是7，第七项比第三项的三倍多2。

要求

我们需要求出该数列的首项、公差和前20项的和。

解答

设该等差数列的首项、公差和项数分别为$a, d$和$n$。

我们知道：

等差数列的第n项 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

首项 $a_1=a$

$a_{3}=a+(3-1)d$

$7=a+2d$.....(i)

$a_{7}=a+(7-1)d$

$=a+6d$....(ii)

根据题意：

$a_{7}=3a_3+2$

$a+6d=3(a+2d)+2$

$a+6d=3a+6d+2$

$3a-a=-2$

$2a=-2$

$a=-1$....(iii)

将$a=-1$代入(i)式，得到：

$7=-1+2d$

$2d=7+1$

$d=\frac{8}{2}$

$d=4$

等差数列前n项和 $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$S_{20}=\frac{20}{2}[2(-1)+(20-1)4]$

$=10(-2+76)$

$=10(74)$

$=740$

首项为-1，公差为4，前20项的和为740。 

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更新于：2022年10月10日

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