首项为 8，公差为 20 的等差数列前 n 项和等于首项为 -30，公差为 8 的另一个等差数列前 2n 项和。求 n。

已知

首项为 8，公差为 20 的等差数列前 n 项和等于首项为 -30，公差为 8 的另一个等差数列前 2n 项和。
要求：

我们需要求出 n 的值。

解题步骤

设第一个等差数列为 $A_1$，第二个等差数列为 $A_2$。

第一个等差数列的首项 $a = 8$
第一个等差数列的公差 $d = 20$
设第一个等差数列的项数为 $n$
等差数列前 n 项和公式，$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$=\frac{n}{2}[2\times8+(n-1)20]$
$=\frac{n}{2}(16+20n-20)$

$=\frac{n}{2}(20 n-4)$

$=n(10 n-2)$......(i)

第二个等差数列的首项 $\left(a^{\prime}\right)=-30$

第二个等差数列的公差 $\left(d^{\prime}\right)=8$
$\therefore$ 第二个等差数列前 $2 n$ 项和，

$\mathrm{S}_{2 n}=\frac{2 n}{2}\left[2 a^{\prime}+(2 n-1) d^{\prime}\right]$
$=n[2(-30)+(2 n-1) 8]$
$=n[-60+16 n-8]$
$=n[16 n-68]$......(ii)
根据题意，

第一个等差数列前 n 项和 = 第二个等差数列前 2n 项和

$\Rightarrow \mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{2 n}$
$\Rightarrow n(10 n-2)=n(16 n-68)$
$\Rightarrow n[(16 n-68)-(10 n-2)]=0$
$\Rightarrow n(16 n-68-10 n+2)=0$
$\Rightarrow n(6 n-66)=0$

$6n=66$ 或 $n=0$ (不可能)
$\therefore n=11$
因此，n 的值为 11。

教程点

更新于：2022年10月10日

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