在一个等差数列中，如果首项是22，公差是$-4$，且前n项的和是64，求$n$。

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已知条件

在一个等差数列中，首项是22，公差是$-4$，前$n$项的和是64。

要求

我们必须求出$n$的值。

解答

设首项为$a$，公差为$d$。

首项 $a=22$

公差 $d=-4$

前n项和 $S_{n} =64$

我们知道：

前$n$项和 $S_{n} =\frac{n}{2}( 2a+(n-1)d)$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}[2(22)+(n-1)(-4)]$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}(44-4n+4)$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}(48-4n)$

$\Rightarrow 64=(n)(24-2n)$

$\Rightarrow 32=(n)(12-n)$

$\Rightarrow 12n-n^2=32$ 

$\Rightarrow n^2-12n+32=0$

$\Rightarrow n^2-8n-4n+32=0$

$\Rightarrow n(n-8)-4(n-8)=0$

$\Rightarrow (n-8)(n-4)=0$

$\Rightarrow n=8$ 或 $n=4$

$n$的值为4或8。