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法律研究一个等差数列的首项为 8，公差为 20，其前 \( n \) 项的和等于另一个等差数列的前 \( 2 n \) 项的和，该数列的首项为 \( -30 \)，公差为 8。求 \( n \) 的值。
已知
一个等差数列 (A.P.) 的前 $n$ 项和，其首项为 8，公差为 20，等于另一个等差数列的前 $2n$ 项和，该数列的首项为 $-30$，公差为 8。
要求
我们需要求出 $n$ 的值。
解答
设第一个等差数列为 $A_1$，第二个等差数列为 $A_2$。
第一个等差数列的首项 $a = 8$
第一个等差数列的公差 $d = 20$
设第一个等差数列的项数为 $n$
等差数列前 $n$ 项和公式为：
$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{n}{2}[2\times8+(n-1)20]$
$=\frac{n}{2}(16+20n-20)$
$=\frac{n}{2}(20 n-4)$
$=n(10 n-2)$......(i)
第二个等差数列的首项 \( \left(a^{\prime}\right)=-30 \)
第二个等差数列的公差 \( \left(d^{\prime}\right)=8 \)
因此，
第二个等差数列前 \( 2 n \) 项和公式为：
\( \mathrm{S}_{2 n}=\frac{2 n}{2}\left[2 a^{\prime}+(2 n-1) d^{\prime}\right] \)
\( =n[2(-30)+(2 n-1) 8] \)
\( =n[-60+16 n-8] \)
\( =n[16 n-68] \)......(ii)
根据题意，
第一个等差数列前 \( n \) 项的和 \( = \) 第二个等差数列前 \( 2 n \) 项的和。
\( \Rightarrow \mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{2 n} \)
\( \Rightarrow n(10 n-2)=n(16 n-68) \)
\( \Rightarrow n[(16 n-68)-(10 n-2)]=0 \)
\( \Rightarrow n(16 n-68-10 n+2)=0 \)
\( \Rightarrow n(6 n-66)=0 \)
\( 6n=66 \) 或 \( n=0 \)，但 \( n=0 \) 不可能
因此，
$n=11$
因此，\( n \) 的值为 11。
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