如果等差数列(AP)前n项的和为$4n - n^2$，那么第一项（即$S_1$）是多少？前两项的和是多少？第二项是多少？同样地，求出第三项、第十项和第n项。

已知

等差数列前$n$项的和为$4n-n^{2}$。

要求

我们必须找到第一项（即$S_1$）、前两项的和、第二项、第三项、第十项和第$n$项。

解答

$S_{n} =4n-n^{2}$

当$n=1$时，$S_{1} =4\times 1 -1^2=4-1=3$

因此，第一项$a=3$

当$n=2$时，$S_{2} =4\times 2-2^{2}=8-4=4$

$\therefore$ 等差数列的第二项$=S_{2} -S_{1} = 4 - 3 = 1$

$=4-3$

$=1$

等差数列的公差，$d=$第二项$-$第一项$= 1 - 3 = -2$

$=1-3=-2$

我们知道：

$a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{2}=a+d=3+(-2)=3-2=1$

$a_3=a+2d=3+2(-2)=3-4=-1$

$a_{10}=a+(10-1)d=3+9(-2)=3-18=-15$

$a_n=a+(n-1)d=3+(n-1)(-2)$

$=3-2n+2$

$=5-2n$

因此，第一项是$3$，第二项是$1$，第三项是$-1$，第十项是$-15$，第$n$项是$5-2n$，前两项的和是$4$。

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更新于：2022年10月10日

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