如果一个等差数列前p项的和为$ap^{2} +bp$，求其公差。

已知：前p项之和$=ap^{2} +bp$

要求：求其公差。

已知等差数列前p项之和为$ap^{2} +bp$

设该等差数列的首项为x，公差为y。

则该等差数列的和为$\frac{p}{2} \ [ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow $ 已知和 $ap^{2} +bp=\ \frac{p}{2}[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow  2ap^{2} +2bp=p[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow  2p( ap+b) =p[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow 2ap+2b=2x+( p-1) \ y$

$\Rightarrow \ \ \ \ \ 2b+2ap=( 2x-y) +\ py$

比较两边各项系数

$\Rightarrow 2a=y$

$2x-y=2b$

$\Rightarrow  2x=2b+y$

$\Rightarrow  2x=2b+2a$                                $( 将2a=y代入)$

$\Rightarrow x=a+b$

因此公差y=2a

首项$x=a+b$