在一个等差数列中，前十项的和为-150，接下来的十项的和为-550。求这个等差数列。

已知：在一个等差数列中，前十项的和为-150，接下来的十项的和为-550。

要求：求这个等差数列。

解：已知

前十项的和 $S_{10}=-150$

接下来的十项的和$=-550$

前二十项的和，$S_{20} =-150-550=-700$

设等差数列的首项为$a$

公差为$d$

我们知道等差数列前n项的和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

前10项的和 $S_{10} =\frac{10}{2}[ 2a+( 10-1) d]$

$-150=5( 2a+9d) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 其中\ S_{10} =-150\ 且\ n=10\ )$

$\ \Rightarrow \ 2a+9d=-30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc ..\ ( 1)$

前20项的和 $S_{20} =\frac{20}{2}[ 2a+( 20-1) d]$

$-700=10( 2a+19d) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 其中\ S_{20} =-700\ 且\ n=20)$

$\Rightarrow 2a+19d=-70\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \ \ ( 2)$

用(2)式减去(1)式

$2a+19d-2a-9d=-70+30$

$10d=-40$

$d=\frac{-40}{10}$

$\Rightarrow d=-4$

将$d=-4$代入(2)式

$\Rightarrow 2a-76=-70$

$\Rightarrow 2a=-70+76=6$

$\Rightarrow a=3$

解出(1)和(2)式后

得到等差数列的首项为$3$

公差为$-4$

因此，等差数列为 $3,\ -1,\ -5,\ -9,\ -13,\ \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc \dotsc $