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法律一个等差数列的第 11 项与第 18 项之比为 2:3。求第 5 项与第 21 项之比。
已知
一个等差数列的第 11 项与第 18 项之比为 2:3。
要求
我们必须找到第 5 项与第 21 项之比，以及前五项之和与前 21 项之和的比值。
解答
设 $a$ 为等差数列的首项，$d$ 为公差。
这意味着，
$a_{11}: a_{18} =2: 3$
$\frac{a+10 d}{a+17 d}=\frac{2}{3}$
$3 a+30 d=2 a+34 d$
$3a-2a=34 d-30d$
$a=4d$........(i)
$a_5=a+(5-1)d$
$=a+4d$
$a_{21}=a+(21-1)d$
$=a+20d$
这意味着，
$a_5:a_{21}=(a+4d):(a+20d)$
$=\frac{4d+4d}{4d+20d}$
$=\frac{8d}{24d}$
$=\frac{1}{3}$
前五项之和 $S_{5}=\frac{5}{2}[2 a+(5-1) d]$
$=\frac{5}{2}[2(4 d)+4 d]$
$=\frac{5}{2}(8 d+4 d)$
$=\frac{5}{2}(12 d)$
$=30 d$
前 21 项之和 $S_{21}=\frac{21}{2}[2 a+(21-1) d]$
$=\frac{21}{2}[2(4 d)+20 d]$ [根据 (i)]
$=\frac{21}{2}(28 d)$
$=294 d$
因此，
前五项之和与前 21 项之和的比值为，
$S_5:S_{21}=30 d: 294 d$
$=5: 49$
更新于: 2022年10月10日
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