如果一个等差数列的第 3 项和第 8 项的和为 7，第 7 项和第 14 项的和为 -3，求第 10 项。

已知：

一个等差数列的第 3 项和第 8 项的和为 7，第 7 项和第 14 项的和为 -3。

要求：

求第 10 项。

解答

设首项为 $a$，公差为 $d$。

这意味着，

$a_{3}=a+(3-1)d$

$=a+2d$.......(i)

$a_8=a+(8-1)d$

$=a+7d$.........(ii)

$a_7=a+(7-1)d$

$=a+6d$.........(iii)

$a_{14}=a+(14-1)d$

$=a+13d$........(iv)

根据题意，

$a_3+a_8=7$

$a+2d+a+7d=7$         [根据 (i) 和 (ii)]

$2a+9d=7$.......(v)

$a_7+a_{14}=-3$

$a+6d+a+13d=-3$

$2a+19d=-3$.......(vi)

用 (vi) 减去 (v)，得到：

$2a+19d-(2a+9d)=-3-7$

$10d=-10$

$d=-1$

这意味着，

$2a+9(-1)=7$

$2a=7+9$

$2a=16$

$a=8$

因此，

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=8+9(-1)$

$=8-9$

$=-1$

因此，该等差数列的第 10 项为 -1。

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更新于： 2022年10月10日

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