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在等差数列中，如果 $S_{5} + S_{7} = 167$ 且 $S_{10} = 235$ ，则求该等差数列，其中 $S_{n}$ 表示其前 n 项的和。

学术数学 NCERT 10 年级

已知：在一个等差数列中，

$S_{5} + S_{7} = 167$ 且

$S_{10} = 235$ ，其中

$S_{n}$ 表示其前 n 项的和。

求解：求该等差数列。

解

已知，如果 a 是等差数列的首项，d 是公差。

则前 n 项的和，

$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

$\therefore S_{5} = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$

$S_{5} = \frac{5}{2}(2a + 4d) .............(1)$

且

$S_{7} = \frac{7}{2}[2a + (7-1)d]$

$S_{7} = \frac{7}{2}(2a + 6d) ..............(2)$

已知，

$S_{5} + S_{7} = 167$

$\Rightarrow \frac{5}{2}(2a + 4d) + \frac{7}{2}(2a + 6d) = 167$

$\Rightarrow \frac{5(2a + 4d) + 7(2a + 6d)}{2} = 167$

$\Rightarrow \frac{10a + 20d + 14a + 42d}{2} = 167$

$\Rightarrow \frac{24a + 62d}{2} = 167$

$\Rightarrow 24a + 62d = 167 \times 2$

$\Rightarrow 24a + 62d = 334 ................(3)$

且

$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$

$\Rightarrow 235 = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$

$\Rightarrow 2a + 9d = 47 ................(4)$

将方程(4)乘以12，得到

$24a + 108d = 564 ................(5)$

用(5)减去(3)，得到

$24a + 108d - 24a - 62d = 564 - 334$

$\Rightarrow 46d = 230$

$\Rightarrow d = \frac{230}{46} = 5$

将 d 的值代入(4)，得到

$2a + 9 \times 5 = 47$

$\Rightarrow 2a + 45 = 47$

$\Rightarrow 2a = 47 - 45 = 2$

$\Rightarrow 2a = 2$

$\Rightarrow a = 1$

因此，该等差数列为 1, 6, 11, 16, ……

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更新于：2022年10月10日

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