证明 (6)^1/3 是非有理数。

已知

给定的数是 (6)^1/3
 

要求

我们必须证明 (6)^1/3 是非有理数。

解

(6)^1/3 = ³√6

假设 ³√6 是有理数。

因此，它可以写成 a/b 的形式，其中 a、b 互质（除了 1 之外没有其他公因子），且 b 不等于 0。

(6)^1/3 = a/b

6 = (a/b)³

6 = a³/b³

6b³ = a³

因此，a³ 可被 6 整除，a 也可被 6 整除。

所以，我们可以写成 a = 6c，其中 c 为某个整数。

代入 a = 6c，

6b³ = (6c)³

6b³ = 6³c³

b³ = 6²c³

这意味着 b³ 可被 6 整除，因此 b 也可被 6 整除。

因此，a 和 b 有公因子 6。

但这与 a 和 b 互质（除了 1 之外没有其他公因子）的假设相矛盾。

所以，(6)^1/3 是有理数的假设是错误的。

因此，(6)^1/3不是有理数。

教程点

更新于：2022年10月10日

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