证明根号2不是一个有理数。

为了证明这一点，我们首先需要理解定理 1.3： 

设 p 为一个素数。如果 p 整除 a2，则 p 整除 a，其中 a 是一个正整数。

现在，

让我们假设，相反，√2 是有理数。

因此，我们可以找到整数 a 和 b（≠ 0），使得 √2 = 𝑎/𝑏 。

其中，a 和 b 互质。

⇒    (√2)2 = (𝑎/𝑏)2

⇒    2 = 𝑎2/𝑏2

⇒    2𝑏2 = 𝑎2

因此，2 整除 𝑎2。

现在，根据定理 1.3，可以得出 2 整除 a。

所以，我们可以写成 a = 2c，其中 c 是某个整数。

⇒    𝑎2 = 4𝑐2

⇒    2𝑏2 = 4𝑐2         (使用，2𝑏2 = 𝑎2)

⇒    𝑏2 = 2𝑐2

因此，2 整除 𝑏2。

现在，根据定理 1.3，可以得出 2 整除 b。

因此，a 和 b 至少有 2 作为公因子。

但这与 a 和 b 除了 1 之外没有其他公因子的事实相矛盾。

这种矛盾是由于我们错误地假设 √2 是有理数而产生的。

因此，我们得出结论，√2 是无理数。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

324 次浏览

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习