证明 $2+\sqrt{2}$ 不是有理数。

已知

给定的数字为 $2+\sqrt{2}$
 

目标

我们要证明 $2+\sqrt{2}$ 不是有理数。

解决方案

我们假设 $2+\sqrt{2}$ 是有理数。

因此，它可以写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 a、b 为互素，且 b 不等于 0。

$2+\sqrt{2}=\frac{a}{b}$

$\sqrt{2} = \frac{a}{b} - 2$

$\sqrt{2} = \frac{a -2b}{b}$

这里，a、b 和 $-2$ 是整数。

因此，$\frac{a -2b}{b}$ 是有理数。

但是，我们已经知道，$\sqrt{2}$ 是无理数。

这与假设 $2+\sqrt{2}$ 是有理数矛盾。

因此，$2+\sqrt{2}$ 不是有理数。

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更新于:10-Oct-2022

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