证明
(i) $\sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{27 \times 64}$
(ii) $\sqrt[3]{64 \times 729}=\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729}$
(iii) $\sqrt[3]{-125 \times 216}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216}$
(iv) $\sqrt[3]{-125 \times-1000}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000}$

求解： 

我们需要证明

(i) $\sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{27 \times 64}$

(ii) $\sqrt[3]{64 \times 729}=\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729}$

(iii) $\sqrt[3]{-125 \times 216}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216}$

(iv) $\sqrt[3]{-125 \times-1000}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000}$

解答

(i) 左侧 = $\sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64}$

=$\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3} \times \sqrt[3]{4 \times 4 \times 4}$

=$\sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{4^{3}}$

= 3 × 4

$=12$

右侧 = $\sqrt[3]{27 \times 64}$

=$\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times 4}$

=$\sqrt[3]{3^{3} \times 4^{3}}$

= 3 × 4

$=12$

左侧 = 右侧

证毕。

(ii) 左侧 = $\sqrt[3]{64 \times 729}$

=$\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4 \times 9 \times 9 \times 9}$

=$\sqrt[3]{4^{3} \times 9^{3}}$

= 4 × 9

$=36$

右侧 = $\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729}$

=$\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4} \times \sqrt[3]{9 \times 9 \times 9}$

= 4 × 9

$=36$

左侧 = 右侧

证毕。

(iii) 左侧 = $\sqrt[3]{-125 \times 216}$

=$-\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5 \times 6 \times 6 \times 6}$

=$-\sqrt[3]{5^{3} \times 6^{3}}$

= -5 × 6

$=-30$

右侧 = $\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216}$

=$-\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5} \times \sqrt[3]{6 \times 6 \times 6}$

=$-\sqrt[3]{5^{3}} \times \sqrt[3]{6^{3}}$

= -5 × 6

$=-30$

左侧 = 右侧

证毕。

(iv) 左侧 = $\sqrt[3]{-125 \times -1000}$

=$\sqrt[3]{125 \times 1000}$

=$\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5 \times 10 \times 10 \times 10}$

=$\sqrt[3]{5^{3} \times 10^{3}}$

= 5 × 10

$=50$

右侧 = $\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000}$

=$(-\sqrt[3]{125}) \times (-\sqrt[3]{1000})$

=$(-\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5}) \times (-\sqrt[3]{10 \times 10 \times 10})$

=$(-\sqrt[3]{5^{3}}) \times (-\sqrt[3]{10^{3}})$

= (-5) × (-10)

$=50$

左侧 = 右侧

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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