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(i) \( \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{27 \times 64} \)
(ii) \( \sqrt[3]{64 \times 729}=\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729} \)
(iii) \( \sqrt[3]{-125 \times 216}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216} \)
(iv) \( \sqrt[3]{-125 \times-1000}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000} \)
求解：
我们需要证明
(i) \( \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{27 \times 64} \)
(ii) \( \sqrt[3]{64 \times 729}=\sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729} \)
(iii) \( \sqrt[3]{-125 \times 216}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216} \)
(iv) \( \sqrt[3]{-125 \times-1000}=\sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000} \)
解答
(i) 左侧 = \( \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{64} \)
=\( \sqrt[3]{3 \times 3 \times 3} \times \sqrt[3]{4 \times 4 \times 4} \)
=\( \sqrt[3]{3^{3}} \times \sqrt[3]{4^{3}} \)
= 3 × 4
$=12$
右侧 = \( \sqrt[3]{27 \times 64} \)
=\( \sqrt[3]{3 \times 3 \times 3 \times 4 \times 4 \times 4} \)
=\( \sqrt[3]{3^{3} \times 4^{3}} \)
= 3 × 4
$=12$
左侧 = 右侧
证毕。
(ii) 左侧 = \( \sqrt[3]{64 \times 729} \)
=\( \sqrt[3]{4 \times 4 \times 4 \times 9 \times 9 \times 9} \)
=\( \sqrt[3]{4^{3} \times 9^{3}} \)
= 4 × 9
$=36$
右侧 = \( \sqrt[3]{64} \times \sqrt[3]{729} \)
=\( \sqrt[3]{4 \times 4 \times 4} \times \sqrt[3]{9 \times 9 \times 9} \)
= 4 × 9
$=36$
左侧 = 右侧
证毕。
(iii) 左侧 = \( \sqrt[3]{-125 \times 216} \)
=\( -\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5 \times 6 \times 6 \times 6} \)
=\( -\sqrt[3]{5^{3} \times 6^{3}} \)
= -5 × 6
$=-30$
右侧 = \( \sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{216} \)
=\( -\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5} \times \sqrt[3]{6 \times 6 \times 6} \)
=\( -\sqrt[3]{5^{3}} \times \sqrt[3]{6^{3}} \)
= -5 × 6
$=-30$
左侧 = 右侧
证毕。
(iv) 左侧 = \( \sqrt[3]{-125 \times -1000} \)
=\( \sqrt[3]{125 \times 1000} \)
=\( \sqrt[3]{5 \times 5 \times 5 \times 10 \times 10 \times 10} \)
=\( \sqrt[3]{5^{3} \times 10^{3}} \)
= 5 × 10
$=50$
右侧 = \( \sqrt[3]{-125} \times \sqrt[3]{-1000} \)
=\( (-\sqrt[3]{125}) \times (-\sqrt[3]{1000}) \)
=\( (-\sqrt[3]{5 \times 5 \times 5}) \times (-\sqrt[3]{10 \times 10 \times 10}) \)
=\( (-\sqrt[3]{5^{3}}) \times (-\sqrt[3]{10^{3}}) \)
= (-5) × (-10)
$=50$
左侧 = 右侧
证毕。
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