用十字相乘法解下列方程组
$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$
$x+y=2a^2$

已知

给定的方程组为

$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$

$x+y=2a^2$

 要求： 

这里，我们要求解给定的方程组，方法是使用十字相乘法。

解：  

给定的方程组可以写成：

$x(a-b+\frac{ab}{a-b})=y(a+b-\frac{ab}{a+b})$

$x[\frac{(a-b)^2+ab}{a-b}]-y[\frac{(a+b)^2-ab}{a+b}]=0$

$x(\frac{a^2+b^2-2ab+ab}{a-b})-y(\frac{a^2+b^2+2ab-ab}{a+b})=0$

$x(\frac{a^2+b^2-ab}{a-b})-y(\frac{a^2+b^2+ab}{a+b})=0$.....(i)

$x+y-2a^2=0$....(ii)

线性方程组 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$（标准形式）的解由下式给出：

$\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-y}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

将给定的方程与方程的标准形式进行比较，得到：

$a_1=(\frac{a^2+b^2-ab}{a-b}), b_1=-(\frac{a^2+b^2+ab}{a+b}), c_1=0$ 以及 $a_2=1, b_2=1, c_2=-2a^2$

因此，

$\frac{x}{(-2 a^{2})[-(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b})]-0 \times 1}=\frac{-y}{(-2 a^{2})(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b})-0 \times 1}=\frac{1}{\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}-[-\frac{(a^{2}+b^{2}+a b)}{a+b}]}$ 

$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{\left(2 a^{2}\right)\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}+\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}}$

$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{\left(2 a^{2}\right)\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{\frac{1}{(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)+(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}}{(a-b)(a+b)}$

$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{a^{3}+b^{3}+a^{3}-b^{3}}{(a-b)(a+b)}}$

$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{2a^3}{(a-b)(a+b)}}$

这意味着：

$\frac{x}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}+a b}{a+b}\right)}=\frac{1}{\frac{2a^3}{(a-b)(a+b)}}$

$x =\frac{2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}{a+b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{2 a^{3}}$

$x=\frac{(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)}{a}$

$x=\frac{a^{3}-b^{3}}{a}$                [$\because a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)$]

$\frac{y}{2 a^{2}\left(\frac{a^{2}+b^{2}-a b}{a-b}\right)}=\frac{1}{\frac{2 a^{3}}{(a-b)(a+b)}}$

$y=\frac{2 a^{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)}{a-b} \times \frac{(a-b)(a+b)}{2 a^{3}}$

$y=\frac{(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)}{a}$

$y=\frac{a^{3}+b^{3}}{a}$               [$\because a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$]

给定方程组的解为 $x=\frac{a^3-b^3}{a}$ 和 $y=\frac{a^3+b^3}{a}$。

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更新时间： 2022 年 10 月 10 日

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