用十字相乘法解下列方程组
$\frac{(x\ +\ y)}{xy}\ =\ 2$
$\frac{(x\ –\ y)}{xy}\ =\ 6$

已知

已知方程组为

$\frac{(x\ +\ y)}{xy}\ =\ 2$

$\frac{(x\ –\ y)}{xy}\ =\ 6$

题意：

这里，我们用十字相乘法解这个方程组。

解答：

已知方程组可以写成：

$\frac{(x\ +\ y)}{xy}\ =\ 2$

$\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}-2=0$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}-2=0$----(i)

$\frac{(x\ -\ y)}{xy}\ =\ 6$

$\frac{x}{xy}-\frac{y}{xy}-6=0$

$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}-6=0$----(ii)

令 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$

这意味着方程(i)和(ii)可以写成：

$u+v-2=0$ 和 $-u+v-6=0$

线性方程组$a_1u+b_1v+c_1=0$ 和 $a_2u+b_2v+c_2=0$ (标准形式)的解由下式给出：

$\frac{u}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-v}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

将上述方程与方程的标准形式进行比较，得到：

$a_1=1, b_1=1, c_1=-2$ 和 $a_2=-1, b_2=1, c_2=-6$

因此：

$\frac{u}{1\times(-6)-1\times(-2)}=\frac{-v}{1\times(-6)-(-1)\times(-2)}=\frac{1}{1\times1-(-1)\times1}$

$\frac{u}{-6+2}=\frac{-v}{-6-2}=\frac{1}{1+1}$

$\frac{u}{-4}=\frac{-v}{-8}=\frac{1}{2}$

$\frac{u}{-4}=\frac{1}{2}$ 和 $\frac{-v}{-8}=\frac{1}{2}$

$u=\frac{-4\times1}{2}$ 和 $-v=\frac{-8\times1}{2}$

$u=\frac{-4}{2}$ 和 $-v=\frac{-8}{2}$

$u=-2$ 和 $-v=-4$

$u=-2$ 和 $v=4$

这意味着：

$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{4}$

已知方程组的解为 $x=-\frac{1}{2}$ 和 $y=\frac{1}{4}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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