用交叉相乘法解下列方程组

$\frac{x}{a}\ +\ \frac{y}{b}\ =\ a\ +\ b$
$\frac{x}{a^2}\ +\ \frac{y}{b^2}\ =\ 2$

已知

给定的方程组为

$\frac{x}{a}\ +\ \frac{y}{b}\ =\ a\ +\ b$

$\frac{x}{a^2}\ +\ \frac{y}{b^2}\ =\ 2$

要求： 

这里，我们需要用交叉相乘法解给定的方程组。

解答：  

给定的方程组可以写成：

$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y-(a+b)=0$

$\frac{1}{a^2}x+\frac{1}{b^2}y-2=0$

线性方程组（标准形式）$a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 的解由下式给出：

$\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-y}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

将给定的方程与方程的标准形式进行比较，得到：

$a_1=\frac{1}{a}, b_1=\frac{1}{b}, c_1=-(a+b)$ 和 $a_2=\frac{1}{a^2}, b_2=\frac{1}{b^2}, c_2=-2$

因此，

$\frac{x}{\frac{1}{b}\times(-2)-\frac{1}{b^2}\times-(a+b)}=\frac{-y}{\frac{1}{a}\times(-2)-\frac{1}{a^2}\times-(a+b)}=\frac{1}{\frac{1}{a}\times\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}\times \frac{1}{b}}$

$\frac{x}{\frac{-2}{b} +\frac{a}{b^{2}} +\frac{1}{b}} =\frac{-y}{\frac{-2}{a} +\frac{1}{a} +\frac{b}{a^{2}}} =\frac{1}{\frac{1}{ab^{2}} -\frac{1}{a^{2} b}}$

$\frac{x}{\frac{a}{b^{2}} -\frac{1}{b}} =\frac{-y}{\frac{b}{a^{2}} -\frac{1}{a}} =\frac{1}{\frac{1}{ab^{2}} -\frac{1}{a^{2} b}}$

$\frac{x}{\frac{a-b}{b^{2}}} =\frac{-y}{\frac{b-a}{a^{2}}} =\frac{1}{\frac{a-b}{a^{2} b^{2}}}$

$x=\frac{\frac{a-b}{b^{2}}}{\frac{a-b}{a^{2} b^{2}}}$ and $-y=\frac{\frac{-(a-b)}{a^{2}}}{\frac{a-b}{a^{2} b^{2}}}$

$x=a^2$ and $-y=-b^2$

$x=a^2$ and $y=b^2$

给定方程组的解为 $x=a^2$ 和 $y=b^2$。

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更新于： 2022年10月10日

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