用十字相乘法解下列方程组
$\frac{2}{x}\ +\ \frac{3}{y}\ =\ 13$
$\frac{5}{x}\ –\ \frac{4}{y}\ =\ -2$

已知

给定的方程组为

$\frac{2}{x}\ +\ \frac{3}{y}\ =\ 13$

$\frac{5}{x}\ –\ \frac{4}{y}\ =\ -2$

要求： 

这里，我们要求用十字相乘法解给定的方程组。

解答：  

令 $\frac{1}{x}=u$ 和 $\frac{1}{y}=v$

给定的方程组可以写成：

$2u+3v=13$ 和 $5u-4v=-2$

$2u+3v-13=0$ 和 $5u-4v+2=0$

线性方程组 $a_1u+b_1v+c_1=0$ 和 $a_2u+b_2v+c_2=0$（标准形式）的解由以下公式给出：

$\frac{u}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-v}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

将上述方程与方程的标准形式进行比较，得到：

$a_1=2, b_1=3, c_1=-13$ 和 $a_2=5, b_2=-4, c_2=2$

因此，

$\frac{u}{3\times2-(-4)\times(-13)}=\frac{-v}{2\times2-5\times(-13)}=\frac{1}{2\times(-4)-5\times3}$

$\frac{u}{6-52}=\frac{-v}{4+65}=\frac{1}{-8-15}$

$\frac{u}{-46}=\frac{-v}{69}=\frac{1}{-23}$

$\frac{u}{-46}=\frac{1}{-23}$ 和 $\frac{-v}{69}=\frac{1}{-23}$

$u=\frac{-46\times1}{-23}$ 和 $-v=\frac{69\times1}{-23}$

$u=\frac{-46}{-23}$ 和 $-v=\frac{69}{-23}$

$u=2$ 和 $-v=-3$

$u=2$ 和 $v=3$

这意味着，

$x=\frac{1}{u}=\frac{1}{2}$

$y=\frac{1}{v}=\frac{1}{3}$

给定方程组的解为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $y=\frac{1}{3}$。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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