用交叉相乘法解下列方程组
$\frac{57}{(x\ +\ y)}\ +\ \frac{6}{(x\ –\ y)}\ =\ 5$
$\frac{38}{(x\ +\ y)}\ +\ \frac{21}{(x\ –\ y)}\ =\ 9$

已知

已知方程组为

$\frac{57}{(x\ +\ y)}\ +\ \frac{6}{(x\ –\ y)}\ =\ 5$

$\frac{38}{(x\ +\ y)}\ +\ \frac{21}{(x\ –\ y)}\ =\ 9$

 要求： 

这里，我们要求解给定的方程组，使用交叉相乘法。

解答：  

令 $\frac{1}{x+y}=u$ 和 $\frac{1}{x-y}=v$

给定的方程组可以写成：

$57u+6v=5$ 和 $38u+21v=9$

$57u+6v-5=0$ 和 $38u+21v-9=0$

线性方程组（标准形式）$a_1u+b_1v+c_1=0$ 和 $a_2u+b_2v+c_2=0$ 的解由下式给出：

$\frac{u}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{-v}{a_1c_2-a_2c_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$

将上述方程与方程的标准形式进行比较，得到：

$a_1=57, b_1=6, c_1=-5$ 和 $a_2=38, b_2=21, c_2=-9$

因此，

$\frac{u}{6\times(-9)-21\times(-5)}=\frac{-v}{57\times(-9)-38\times(-5)}=\frac{1}{57\times21-38\times6}$

$\frac{u}{-54+105}=\frac{-v}{-513+190}=\frac{1}{1197-228}$

$\frac{u}{51}=\frac{-v}{-323}=\frac{1}{969}$

$\frac{u}{51}=\frac{1}{969}$ 和 $\frac{-v}{-323}=\frac{1}{969}$

$u=\frac{51\times1}{969}$ 和 $-v=\frac{-323\times1}{969}$

$u=\frac{51}{969}$ 和 $-v=\frac{-323}{969}$

$u=\frac{1}{19}$ 和 $-v=\frac{-1}{3}$

$u=\frac{1}{19}$ 和 $v=\frac{1}{3}$

这意味着，

$x+y=\frac{1}{u}=\frac{1}{\frac{1}{19}}=19$---(i)

$x-y=\frac{1}{v}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$----(ii)

将方程 (i) 和 (ii) 相加，得到：

$x+y+x-y=19+3$

$2x=22$

$x=\frac{22}{2}=11$

将 $x=11$ 代入方程 (i)，得到：

$11+y=19$

$y=19-11=8$

给定方程组的解为 $x=11$ 和 $y=8$。

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更新于： 2022年10月10日

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