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法学串联RLC电路：分析与例题
考虑一个由R、L和C串联组成的电路，跨接在V（有效值）伏特的电源电压上。电路中流过有效值为I的电流。由于R、L和C串联连接，因此电流流经所有三个元件都相同。为方便分析，电流可以作为参考相量。因此，
$$ \mathrm{R两端的电压，}V_{R}=IR $$
$$ \mathrm{L两端的电压，}V_{L}=IX_{L} $$
$$ \mathrm{C两端的电压，}V_{C}=IX_{c} $$
其中，
- XL = jωL = 感抗，
- Xc = 1/jωC = 容抗。
- VR 与 I 同相。
- VL 超前电流 I 90°。
- VC 滞后电流 I 90°。
总电压是VR、VL和VC的相量和，即
$$ \mathrm{V = V_{R}+V_{L}+V_{C}} $$
$$ \mathrm{电压幅值，}|V|=\sqrt{V_{R}^{2}+(V_{L}-V_{C})^{2}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow |V|=\sqrt{(IR)^{2}+(IX_{L}-IX_{C})^{2}}=I\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}} $$
$$ \mathrm{电压相角，}\Phi=\tan^{-1}(\frac{V_{L}-V_{C}}{V_{R}})=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}) $$
因此，
$$ \mathrm{电路电流，}I=\frac{|V|\angle\Phi}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}} $$
其中，$(\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}})$ 是对电流流动的阻抗，称为电路的**阻抗**。用Z表示，因此，
$$ \mathrm{Z=R+jX_{L}+jX_{C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})} $$
$$ \mathrm{阻抗幅值，}|Z|=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}} $$
$$ \mathrm{阻抗角，}\theta=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}) $$
电路功率因数
交流电路的功率定义为有功功率与总功率之比，即
$$ \mathrm{功率因数，}\cos\Phi=\frac{有功功率}{总功率} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow \cos\Phi=\frac{I^{2}R}{I^{2}Z}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}} $$
消耗功率
电路中只有电阻消耗功率，电感和电容不消耗功率。因此，
$$ \mathrm{P=VICos\Phi=(IZ)×I×\frac{R}{Z}=I^{2}R} $$
串联RLC电路的三种情况
情况1 – 当XL > XC时，即(XL - XC)为正，则相角φ为正，因此电路表现为感性电路，功率因数滞后。
情况2 – 当XL < XC时，即(XL - XC)为负，则相角φ为负，因此电路表现为容性电路，功率因数超前。
情况3 – 当XL = XC时，即(XL - XC)为零，则相角φ为零，因此电路表现为纯电阻电路，功率因数为1。
现在，如果外加电压由下式给出，
$$ u=V_{m}\sin(\omega t) $$
则**电路电流方程**为：
$$ i=I_{m}\sin(\omega t ± \Phi) $$
φ的值为正或负，取决于哪个电抗（XL或XC）占主导地位。
串联谐振
当阻抗的电抗分量为零时，串联RLC电路发生谐振，即
$$ (X_{L}-X_{C})=0 $$
$$ \Rightarrow(\omega L-\frac{1}{\omega C})=0 $$
$$ \Rightarrow \omega L=\frac{1}{\omega C} $$
因此，谐振频率为
$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$
串联谐振的影响
- XL = XC，因此 ω0 = $1/ \sqrt{LC}$
- ZR = R = 最小值
- 谐振时电路电流，Ir = V/R = 最大值。
- 电路功率因数为1。因此，电路为纯电阻电路。
- 电感和电容上的电压相等，即VL= VC。
谐振曲线
电流和频率之间的曲线称为**谐振曲线**。
由于
$$ \mathrm{下限截止频率，}\omega_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}} $$
$$ \mathrm{上限截止频率，}\omega_{2}=\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}} $$
因此，电路的**带宽**为
$$ \mathrm{BW=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{R}{L}} $$
串联谐振电路的Q因子
电路的**Q因子**(品质因数)定义为无功功率与有功功率之比，即
$$ \mathrm{Q因子=\frac{无功功率}{有功功率}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{I^{2}X_{L}}{I^{2}R}=\frac{I^{2}X_{c}}{I^{2}R}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{\omega CR}} $$
在谐振时，
$$ \omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$
$$ \mathrm{\Rightarrow Q_{0}因子=\frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{L}{R\sqrt{LC}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}} $$
数值例子
一个240V、50Hz的交流电源施加到一个0.08H电感和4Ω电阻的线圈上，该线圈与一个8μF的电容串联。计算以下各项：
- 阻抗
- 电路电流
- 电压和电流之间的相角
- 功率因数
- 消耗功率
- 谐振频率下电路的Q因子。
解答
这里，
$$ \mathrm{X_{L}=\omega L=2\pi fL=2\pi×50×0.08=25.12 Ω} $$
$$ \mathrm{X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi×50×8×10^{-6}}=398.09 Ω} $$
因此，
- 电路阻抗
$$ \mathrm{Z=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(25.12-398.09)^{2}}=372.99 Ω} $$
- 电路电流
$$ \mathrm{I=\frac{V}{Z}=\frac{240}{372.99}=0.643 A} $$
- 电压和电流之间的相角
$$ \mathrm{\Phi=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R})=\tan^{-1}(\frac{25.12-398.09}{4})=-89.38°} $$
相角的负号表明电流超前电压。
- 功率因数
$$ \mathrm{cos\phi=\frac{R}{Z}=\frac{4}{372.99}=0.01072 (超前)} $$
- 消耗功率
$$ \mathrm{P=VICos\Phi=240×0.643×0.01072=1.654 W} $$
- 串联谐振时电路的Q因子
$$ \mathrm{Q_{0}因子=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{0.08}{8×10^{-6}}}=25} $$
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