串联RLC电路：分析与例题

考虑一个由R、L和C串联组成的电路，跨接在V（有效值）伏特的电源电压上。电路中流过有效值为I的电流。由于R、L和C串联连接，因此电流流经所有三个元件都相同。为方便分析，电流可以作为参考相量。因此，

$$\mathrm{R两端的电压，}V_{R}=IR$$

$$\mathrm{L两端的电压，}V_{L}=IX_{L}$$

$$\mathrm{C两端的电压，}V_{C}=IX_{c}$$

其中，

• X_L = jωL = 感抗，
• X_c = 1/jωC = 容抗。
• V_R 与 I 同相。
• V_L 超前电流 I 90°。
• V_C 滞后电流 I 90°。

总电压是V_R、V_L和V_C的相量和，即

$$\mathrm{V = V_{R}+V_{L}+V_{C}}$$

$$\mathrm{电压幅值，}|V|=\sqrt{V_{R}^{2}+(V_{L}-V_{C})^{2}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow |V|=\sqrt{(IR)^{2}+(IX_{L}-IX_{C})^{2}}=I\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}$$

$$\mathrm{电压相角，}\Phi=\tan^{-1}(\frac{V_{L}-V_{C}}{V_{R}})=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R})$$

因此，

$$\mathrm{电路电流，}I=\frac{|V|\angle\Phi}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}$$

其中，$(\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}})$ 是对电流流动的阻抗，称为电路的**阻抗**。用Z表示，因此，

$$\mathrm{Z=R+jX_{L}+jX_{C}=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})}$$

$$\mathrm{阻抗幅值，}|Z|=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}$$

$$\mathrm{阻抗角，}\theta=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R})$$

电路功率因数

交流电路的功率定义为有功功率与总功率之比，即

$$\mathrm{功率因数，}\cos\Phi=\frac{有功功率}{总功率}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \cos\Phi=\frac{I^{2}R}{I^{2}Z}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}}$$

消耗功率

电路中只有电阻消耗功率，电感和电容不消耗功率。因此，

$$\mathrm{P=VICos\Phi=(IZ)×I×\frac{R}{Z}=I^{2}R}$$

串联RLC电路的三种情况

情况1 – 当X_L > X_C时，即(X_L - X_C)为正，则相角φ为正，因此电路表现为感性电路，功率因数滞后。

情况2 – 当X_L < X_C时，即(X_L - X_C)为负，则相角φ为负，因此电路表现为容性电路，功率因数超前。

情况3 – 当X_L = X_C时，即(X_L - X_C)为零，则相角φ为零，因此电路表现为纯电阻电路，功率因数为1。

现在，如果外加电压由下式给出，

$$u=V_{m}\sin(\omega t)$$

则**电路电流方程**为：

$$i=I_{m}\sin(\omega t ± \Phi)$$

φ的值为正或负，取决于哪个电抗（X_L或X_C）占主导地位。

串联谐振

当阻抗的电抗分量为零时，串联RLC电路发生谐振，即

$$(X_{L}-X_{C})=0$$

$$\Rightarrow(\omega L-\frac{1}{\omega C})=0$$

$$\Rightarrow \omega L=\frac{1}{\omega C}$$

因此，谐振频率为

$$\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

串联谐振的影响

• X_L = X_C，因此 ω₀ = $1/ \sqrt{LC}$
• Z_R = R = 最小值
• 谐振时电路电流，I_r = V/R = 最大值。
• 电路功率因数为1。因此，电路为纯电阻电路。
• 电感和电容上的电压相等，即V_L= V_C。

谐振曲线

电流和频率之间的曲线称为**谐振曲线**。

由于

$$\mathrm{下限截止频率，}\omega_{1}=-\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}}$$

$$\mathrm{上限截止频率，}\omega_{2}=\frac{R}{2L}+\sqrt{(\frac{R}{2L})^{2}+\frac{1}{LC}}$$

因此，电路的**带宽**为

$$\mathrm{BW=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{R}{L}}$$

串联谐振电路的Q因子

电路的**Q因子**(品质因数)定义为无功功率与有功功率之比，即

$$\mathrm{Q因子=\frac{无功功率}{有功功率}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{I^{2}X_{L}}{I^{2}R}=\frac{I^{2}X_{c}}{I^{2}R}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Q因子=\frac{\omega L}{R}=\frac{1}{\omega CR}}$$

在谐振时，

$$\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow Q_{0}因子=\frac{\omega_{0}L}{R}=\frac{L}{R\sqrt{LC}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}$$

数值例子

一个240V、50Hz的交流电源施加到一个0.08H电感和4Ω电阻的线圈上，该线圈与一个8μF的电容串联。计算以下各项：

• 阻抗
• 电路电流
• 电压和电流之间的相角
• 功率因数
• 消耗功率
• 谐振频率下电路的Q因子。

解答

这里，

$$\mathrm{X_{L}=\omega L=2\pi fL=2\pi×50×0.08=25.12 Ω}$$

$$\mathrm{X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi×50×8×10^{-6}}=398.09 Ω}$$

因此，

• 电路阻抗

$$\mathrm{Z=\sqrt{(R)^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}=\sqrt{(4)^{2}+(25.12-398.09)^{2}}=372.99 Ω}$$

• 电路电流

$$\mathrm{I=\frac{V}{Z}=\frac{240}{372.99}=0.643 A}$$

• 电压和电流之间的相角

$$\mathrm{\Phi=\tan^{-1}(\frac{X_{L}-X_{C}}{R})=\tan^{-1}(\frac{25.12-398.09}{4})=-89.38°}$$

相角的负号表明电流超前电压。

• 功率因数

$$\mathrm{cos\phi=\frac{R}{Z}=\frac{4}{372.99}=0.01072 (超前)}$$

• 消耗功率

$$\mathrm{P=VICos\Phi=240×0.643×0.01072=1.654 W}$$

• 串联谐振时电路的Q因子

$$\mathrm{Q_{0}因子=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{0.08}{8×10^{-6}}}=25}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2021年6月18日

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