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题目：我们需要证明 (i) $tan\ 48^o\ tan\ 23^o\ tan\ 42^o\ tan\ 67^o = 1$；(ii) $cos\ 38^o\ cos\ 52^o - sin\ 38^o\ sin\ 52^o = 0$。解答： (i) 我们知道，$tan\ (90^{\circ}- \theta) = cot\ \theta$，$tan\ \theta \times \cot\ \theta=1$。因此，左边 = $\tan 48^{\circ} \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 67^{\circ}=\tan (90^{\circ}-42^{\circ})\tan 23^{\circ}\tan 42^{\circ}\tan (90^{\circ}-23^{\circ})$$=\tan 42^{\circ}\tan 23^{\circ}\cot 42^{\circ}\cot 23^{\circ}$$=(\tan 42^{\circ}\cot 42^{\circ})(\tan 23^{\circ}\cot 23^{\circ})$$=1\times1$$=1$= 右边，证毕。(ii) 我们知道，$\cos\ (90^{\circ}- \theta) = \sin\ \theta$，$\sin\ (90^{\circ}- \theta) = \cos\ \theta$。因此，左边 $=cos\ 38^o\ cos 52^o - sin\ 38^o sin\ 52^o$$= cos\ 38^o cos\ (90^o - 38^o) - sin\ 38^o sin\ (90^o - 38^o)$$= ... 阅读更多
已知：\( \tan 2 A=\cot \left(A-18^{\circ}\right) \)，其中 \( 2 A \) 是锐角。题目：我们需要求 \( A \) 的值。解答： 我们知道，$\cot (90^{\circ}- \theta) = tan\ \theta$。因此，$\tan 2 A=\cot\left(A-18^{\circ}\right)$$\cot (90^{\circ}- 2A)=\cot\left(A-18^{\circ}\right)$比较两边，我们得到，$90^{\circ}-2A =A-18^{\circ}$$2A+A=90^{\circ}+18^{\circ}$$3A=108^{\circ}$$A=\frac{108^{\circ}}{3}$$A=36^{\circ}$$A$ 的值为 $36^{\circ}$。
已知：$tan\ A=cot\ B$题目：我们需要证明 $A+B=90^o$。解答：我们知道，$cot\ B=tan\ (90^o-B)$。因此，$tan\ A=tan\ (90^o-B)$。这意味着，$A=90^o-B$，$A+B=90^o$，证毕。
已知：\( \sec 4 A=\operatorname{cosec}\left(A-20^{\circ}\right) \)，其中 \( 4 A \) 是锐角。题目：我们需要求 \( A \) 的值。解答： 我们知道，$\operatorname{cosec} (90^{\circ}- \theta) = sec\ \theta$。因此，$\sec 4 A=\operatorname{cosec}\left(A-20^{\circ}\right)$$\operatorname{cosec} (90^{\circ}- 4A)=\operatorname{cosec}\left(A-20^{\circ}\right)$比较两边，我们得到，$90^{\circ}-4A =A-20^{\circ}$$4A+A=90^{\circ}+20^{\circ}$$5A=110^{\circ}$$A=\frac{110^{\circ}}{5}$$A=22^{\circ}$$A$ 的值为 $22^{\circ}$。
已知：\( A, B, C \) 是三角形 \( A B C \) 的内角。题目：我们需要证明 \( \sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2} \)。解答： 我们知道，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$。三角形内角和为 $180^{\circ}$。这意味着， $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$$\Rightarrow \frac{\angle A+\angle B+\angle C}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}$$\Rightarrow \frac{\angle A}{2}+ \frac{\angle B}{2}+ \frac{\angle C}{2}=90^{\circ}$因此， $\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\sin (\frac{B}{2}+\frac{C}{2})$$=\sin (90^{\circ}-\frac{A}{2})$$=\cos \frac{A}{2}$，证毕。阅读更多
题目：\( \sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ} \)解答： 我们知道，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$。因此，$\sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\sin (90^{\circ}-23^{\circ})+\cos (90^{\circ}-15^{\circ})$$=\cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ}$因此，$\sin 67^{\circ}+\cos 75^{\circ}=\cos 23^{\circ}+\sin 15^{\circ}$。
题目：我们需要用 $cot\ A$ 表示三角函数 $sin\ A, sec\ A$ 和 $tan\ A$。解答： 我们知道，$\operatorname{cosec^2}\ A - cot^2\ A = 1$。因此，$\operatorname{cosec}^{2}\ A=1+\cot ^{2}\ A$$\operatorname{cosec}\ A=\sqrt{1+\cot ^{2}\ A}$$\sin\ A=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2}\ A}}$$\sec ^{2} \mathrm{~A}-\tan ^{2} \mathrm{~A}=1$$\Rightarrow \sec ^{2} \mathrm{~A}=1+\tan ^{2} \mathrm{~A}$$=1+\frac{1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{\cot ^{2}+1}{\cot ^{2} \mathrm{~A}}$$\Rightarrow \sec \mathrm{A}=\frac{\sqrt{\cot ^{2} \mathrm{~A}+1}}{\cot \mathrm{A}}$$\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\cot \mathrm{A}}$
题目：我们需要用 $sec\ A$ 表示 $\angle A$ 的所有其他三角函数。解答： 我们知道， $sin^2\ A + cos^2\ A = 1$。因此， $\sin ^{2} A=1-\cos ^{2} A$$=1-\frac{1}{\sec ^{2} A}$$=\frac{\sec ^{2} A-1}{\sec ^{2} A}$$\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}$$\cos A=\frac{1}{\sec A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$=\frac{\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}}{\frac{1}{\sec A}}$$=\sqrt{\sec ^{2} A-1}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$=\frac{1}{\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A}}$$=\frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}$$\cot A=\frac{1}{\tan A}$$=\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}$阅读更多
题目：我们需要计算：(i) \( \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}} \)(ii) $sin\ 25^o\ cos\ 65^o + cos\ 25^o\ sin\ 65^o$。解答： (i) $\frac{sin^{2} \ 63^{\circ}\ +\ sin^{2} \ 27^{\circ}\ }{cos^{2} \ 17^{\circ}\ +\ cos^{2} \ 73^{\circ}}$我们知道，$cos( 90^{\circ}\ -\ \theta ) \ =\ sin\ \theta \ and\ sin( 90^{\circ}\ -\ \theta ) \ =\ cos\ \theta $。因此，$\ sin^{2} \ 63^{\circ}\ =\ sin^{2} \ ( 90^{\circ}\ -\ 27^{\circ}) \ =\ cos^{2} \ 27^{\circ}$。类似地，$\ cos^{2} \ 17^{\circ}\ =\ cos^{2} \ ( 90^{\circ}\ -\ 73^{\circ}) \ =\ sin^{2} \ 73^{\circ}$。因此，$\ \frac{sin^{2} \ 63^{\circ}\ +\ sin^{2} ... 阅读更多
待完成：我们必须选择正确的选项并说明理由。解答：(i) 我们知道，$sec^2\ \theta - tan^2\ \theta =1$因此，$9\ sec^2\ A - 9\ tan^2 A = 9(sec^2\ A - tan^2 A)$$=9(1)$$=9$正确选项为B。(ii)$(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)=(\frac{1}{1}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta})(\frac{1}{1}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{1}{\sin \theta})$$=(\frac{\cos \theta+\sin \theta+1}{\cos \theta})(\frac{\sin \theta+\cos \theta-1}{\sin \theta})$$=\frac{(\cos \theta+\sin \theta)^{2}-(1)^{2}}{\cos \theta \sin \theta}$$=\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta+2 \cos \theta \sin \theta-1}{\cos \theta \sin \theta}$$=\frac{1+2 \cos \theta \sin \theta-1}{\cos \theta \sin \theta}$$=\frac{2 \cos \theta \sin \theta}{\cos \theta \sin \theta}$$=2$正确选项为C。(iii) $(\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A})(1-\sin \mathrm{A})=(\frac{1}{\cos \mathrm{A}}+\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}})(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1})$$=(\frac{1+\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}})(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1})$$=\frac{(1)^{2}-(\sin \mathrm{A})^{2}}{\cos \mathrm{A}}$$=\frac{1-\sin ... 阅读更多