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待办事项：我们需要证明 \( (\operatorname{cosec} \theta-\sec \theta)(\cot \theta-\tan \theta)=(\operatorname{cosec} \theta+\sec \theta)(\sec \theta \operatorname{cosec} \theta-2) \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，让我们考虑左边，$(\operatorname{cosec} \theta-\sec \theta)(\cot \theta-\tan \theta)=\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)$$=\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} \times \frac{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}$$=\frac{(\cos \theta-\sin \theta)\left(\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\right)}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}$$=\frac{(\cos \theta-\sin \theta)[(\cos \theta+\sin \theta)(\cos \theta-\sin \theta)]}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}$$=\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^{2}(\cos \theta+\sin \theta)}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}$$=\frac{(1-2 \sin \theta \cos ... 阅读更多
待办事项：我们需要证明 \( (\sec A-\operatorname{cosec} A)(1+\tan A+\cot A)=\tan A \sec A-\cot A \operatorname{cosec} A \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，让我们考虑左边，$(\sec A-\operatorname{cosec} A)(1+\tan A+\cot A)=\left(\frac{1}{\cos A}-\frac{1}{\sin A}\right)\left(1+\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}\right)$$=\frac{\sin A-\cos A}{\sin A \cos A} \times \frac{\sin A \cos A+\sin ^{2} A+\cos ^{2} A}{\sin A \cos A}$$=\frac{\sin A-\cos A}{\sin A \cos A} \times \frac{1+\sin A \cos A}{\sin A \cos A}$$=\frac{(\sin A-\cos A)(1+\sin A \cos A)}{\sin ^{2} A \cos ^{2} A}$ 让我们考虑右边，$\tan A \sec ... 阅读更多
待办事项：我们需要证明 \( \frac{\cos A \operatorname{cosec} A-\sin A \sec A}{\cos A+\sin A}=\operatorname{cosec} A-\sec A \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$\frac{\cos A \operatorname{cosec} A-\sin A \sec A}{\cos A+\sin A}=\frac{\cos A \times \frac{1}{\sin A}-\sin A \times \frac{1}{\cos A}}{\cos A+\sin A}$$=\frac{\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\cos A}}{\cos A+\sin A}$$=\frac{\cos ^{2} A-\sin ^{2} A}{\sin A \cos A(\cos A+\sin A)}$$=\frac{(\cos A+\sin A)(\cos A-\sin A)}{\sin A \cos A(\cos A+\sin A)}$$=\frac{\cos A-\sin A}{\sin A \cos A}$$=\frac{\cos A}{\sin A \cos A}-\frac{\sin A}{\sin A \cos A}$$=\frac{1}{\sin A}-\frac{1}{\cos A}$$=\operatorname{cosec} A-\sec A$ 证毕。 阅读更多
待办事项：我们需要证明 \( \frac{\sin A}{\sec A+\tan A-1}+\frac{\cos A}{\operatorname{cosec} A+\cot A-1}=1 \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$\frac{\sin A}{\sec A+\tan A-1}+\frac{\cos A}{\operatorname{cosec} A+\cot A-1}=\frac{\sin A}{\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}-1}+\frac{\cos A}{\frac{1}{\sin A}+\frac{\cos A}{\sin A}-1}$$=\frac{\sin A}{\frac{1+\sin A-\cos A}{\cos A}}+\frac{\cos A}{\frac{1+\cos A-\sin A}{\sin A}}$$=\frac{\sin A \cos A}{1+\sin A-\cos A}+\frac{\sin A \cos A}{1-\sin A+\cos A}$$=\sin A \cos A \left(\frac{1}{1+\sin A-\cos A}+\frac{1}{1-\sin A+\cos A}\right)$$=\sin A \cos A \left(\frac{1-\sin A+\cos A+1+\sin A-\cos A}{(1+\sin A-\cos A)(1-\sin A+\cos A)}\right)$$=\sin A \cos A \left(\frac{2}{(1+\sin A-\cos A)(1-\sin A+\cos A)}\right)$$= \frac{2\sin A \cos A}{(1)^{2}-(\sin A-\cos ... 阅读更多
待办事项：我们需要证明 \( \frac{\tan A}{\left(1+\tan ^{2} A\right)^{2}}+\frac{\cot A}{\left(1+\cot ^{2} A\right)^{2}}=\sin A \cos A \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$\frac{\tan A}{\left(1+\tan ^{2} A\right)^{2}}+\frac{\cot A}{\left(1+\cot ^{2} A\right)^{2}}=\frac{\tan A}{(\sec ^{2} A)^{2}}+\frac{\cot A}{(\operatorname{cosec} ^{2} A)^{2}}$$=\frac{\sin A}{\cos A} \times \frac{\cos ^{4} A}{1}+\frac{\cos A}{\sin A} \times \frac{\sin ^{4} A}{1}$$=\sin A \cos ^{3} A+\sin ^{3} A \cos A$$=\sin A \cos A\left(\cos ^{2} A+\sin ^{2} A\right)$$=\sin A \cos A(1)$$=\sin A \cos A$ 证毕。 阅读更多
待办事项：我们需要证明 \( \sec ^{4} A\left(1-\sin ^{4} A\right)-2 \tan ^{2} A=1 \)解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$\sec ^{4} \mathrm{~A}\left(1-\sin ^{4} \mathrm{~A}\right)-2 \tan ^{2} \mathrm{~A}=\frac{1}{\cos ^{4} \mathrm{~A}}\left(1-\sin ^{4} \mathrm{~A}\right)- \frac{2\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{1}{\cos ^{4} \mathrm{~A}}\left(1-\sin ^{2} \mathrm{~A}\right)\left(1+\sin ^{2} \mathrm{~A}\right)-\frac{2\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$ $=\frac{1}{\cos ^{4} \mathrm{~A}}\left(\cos ^{2} \mathrm{~A}\right)\left(1+\sin ^{2} \mathrm{~A}\right)-\frac{2\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{1+\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}-\frac{2\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{1+\sin ^{2} \mathrm{~A}-2 \sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}$$=1$ 证毕。 阅读更多
待解决问题：我们需要证明 \( \frac{\cot ^{2} A(\sec A-1)}{1+\sin A}=\sec ^{2} A\left(\frac{1-\sin A}{1+\sec A}\right) \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，让我们考虑左边，$\frac{\cot ^{2} A(\sec A-1)}{1+\sin A}=\frac{\cos ^{2} A\left(\frac{1}{\cos A}-1\right)}{\sin ^{2} A(1+\sin A)}$$=\frac{\cos ^{2} A(1-\cos A)}{\cos A \sin ^{2} A (1+\sin A)}$$=\frac{\cos A(1-\cos A)}{\left(1-\cos ^{2} A\right)(1+\sin A)}$$=\frac{\cos A(1-\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)(1+\sin A)}$$=\frac{\cos A}{(1+\sin A)(1+\cos A)}$让我们考虑右边， $\sec ^{2} A\left(\frac{1-\sin A}{1+\sec A}\right)=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}\left(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{1+\frac{1}{\cos \mathrm{A}}}\right)$$=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}(\frac{1-\sin \mathrm{A}}{\frac{\cos \mathrm{A}+1}{\cos \mathrm{A}}})$$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\cos ^{2} \mathrm{~A}(1+\cos \mathrm{A})}$$=\frac{\cos \mathrm{A}(1-\sin \mathrm{A})}{\left(1-\sin ^{2} \mathrm{~A}\right)(1+\cos \mathrm{A})}$$=\frac{\cos ... 阅读更多
待解决问题：我们需要证明 \( (1+\cot A+\tan A)(\sin A-\cos A)=\frac{\sec A}{\operatorname{cosec}^{2} A}-\frac{\operatorname{cosec} A}{\sec ^{2} A}=\sin A \tan A-\cot A \cos A \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$(1+\cot A+\tan A)(\sin A-\cos A)=\left(1+\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{\cos A}\right)(\sin A-\cos A)$$=(\frac{\sin A \cos A+\cos ^{2} A+\sin ^{2} A}{\sin A \cos A})(\sin A-\cos A)$$=\frac{(\sin A-\cos A)\left(\sin ^{2} A+\sin A \cos A+\cos ^{2} A\right)}{\sin A \cos A}$$=\frac{\sin ^{3} A-\cos ^{3} A}{\sin A \cos A}$.......(i)$\frac{\sec A}{\operatorname{cosec}^{2} A}-\frac{\operatorname{cosec} A}{\sec ^{2} A}=\frac{\sin ^{2} A}{\cos A}-\frac{\cos ^{2} A}{\sin A}$$=\frac{\sin ^{3} \mathrm{~A}-\cos ^{3} \mathrm{~A}}{\sin ... 阅读更多
已知：\( \operatorname{cosec} \theta-\sin \theta=a^{3}, \sec \theta-\cos \theta=b^{3} \)待解决问题：我们需要证明 \( a^{2} b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)=1 \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta=a^{3}$$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta}-\sin \theta=a^{3}$$\Rightarrow \frac{1-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta}=a^{3}$$\Rightarrow \frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}=a^{3}$$\Rightarrow \left(\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}\right)^{\frac{1}{3}}=a$$\sec \theta-\cos \theta=b^{3}$$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}-\cos \theta=b^{3}$$\Rightarrow \frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}=b^{3}$$\Rightarrow \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}=b^{3}$$\Rightarrow \left(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\right)^{\frac{1}{3}}=b$这意味着，$a^{2} b^{2}(a^{2}+b^{2})=(\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin\theta})^{\frac{2}{3}}(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta})^{\frac{2}{3}}[(\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta})^{\frac{2}{3}}+(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta})^{\frac{2}{3}}]$$=\left[\left(\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta}\right) \times\left(\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\right)\right]^{\frac{2}{3}}\left[\frac{\cos \theta^{\frac{4}{3}}}{\sin \theta^{\frac{2}{3}}}+\frac{\sin \theta^{\frac{4}{3}}}{\cos \theta^{\frac{2}{3}}}\right]$$=(\sin \theta \cos \theta)^{\frac{2}{3}}\left[\frac{\cos \theta^{\frac{6}{3}}+\sin ... 阅读更多
已知：\( a \cos ^{3} \theta+3 a \cos \theta \sin ^{2} \theta=m, a \sin ^{3} \theta+3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta=n \) 待解决问题：我们需要证明 \( (m+n)^{2 / 3}+(m-n)^{2 / 3}=2 a^{2 / 3} \)。解：我们知道，$\sin^2 A+\cos^2 A=1$$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$$\sec^2 A-\tan^2 A=1$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$$\sec A=\frac{1}{\cos A}$因此，$a \cos ^{3} \theta+3 a \cos \theta \sin ^{2} \theta=m$.........(i) $a \sin ^{3} \theta+3 a \cos ^{2} \theta \sin \theta=n$.........(ii) 将(i)和(ii)相加，我们得到，$m+n=a \cos ^{3} \theta+3 a \cos \theta \sin ^{2} \theta+a \sin ^{3} \theta+3 a \cos ^{2} \theta ... 阅读更多