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已知：语句 $( -3)+[( -4)+( -5)]= [( -3)+( -4)]+( -5)$。要做：写出语句中使用的性质。解答：语句 $( -3)+[( -4)+( -5)]= [( -3)+( -4)]+( -5)$ 使用了加法的结合律。
已知：一个店主有一卷长 60 米的电线。他卖了 $\frac{2}{5}$ 给第一个顾客，又卖了 $10$ 又 $\frac{1}{2}$ 米给第二个顾客。要做：求店主还剩下多少米电线。解答：总长度 = 60 米 卖给第一个顾客的电线 = $\frac{2}{5}$ 的电线 = $\frac{2}{5}\times 60$ = $\frac{120}{5}$ = 24 米 卖给第二个顾客的电线 = $10$ 又 $\frac{1}{2}$ 米 = $\frac{10\times2+1}{2}$ = $\frac{21}{2}$ = 10.5 米 剩下的电线长度 = 60 - (24 + 10.5) = 60 - (34.5) = 25.5 米 因此，店主还剩下 25.5 米电线。
已知：西玛有三个球，A、B、C。A 的重量是 B 的两倍，而 B 的重量是 C 的三分之一。要做：找出最重的球。解答：设 a、b、c 分别是球 A、B、C 的重量。根据题意，球 A 的重量 a = 2b …… (i) [因为 A 的重量是 B 的两倍] 球 B 的重量 b = $\frac{c}{3}$ …… (ii) [因为 B 的重量是 C 的三分之一] 从 (i) 和 (ii) 得，a = 2b = $\frac{2c}{3}$ 这里我们发现，$\frac{c}{3}$
已知：电势差，V = 100 V 功，W = 500 J 求：电荷量，x 解答：我们知道，W = V × Q 其中，W = 功，Q = 电荷量 代入已知值，我们得到 - 500 = 100 × x [x 是在电势差 V = 100 下，两点间流动的电荷量] x = $\frac{500}{100}$ x = 5C 因此，在 1 秒内，两点间流动的电荷量为 5 库仑，电势差为 100 V。
要做：我们必须证明 \( \frac{\tan \left(90^{\circ}-A\right) \cot A}{\operatorname{cosec}^{2} A}-\cos ^{2} A=0 \)。解答：我们知道，$\tan\ (90^{\circ}- \theta) = \cot\ \theta$ $\sin\ \theta=\frac{1}{\csc\ \theta}$ $\cot \theta=\frac{\cos\ \theta}{\sin\ \theta}$ 因此，$\frac{\tan \left(90^{\circ}-A\right) \cot A}{\operatorname{cosec}^{2} A}-\cos ^{2} A=\frac{\cot A \times \cot A}{\operatorname{cosec}^{2} A}-\cos ^{2} A$ $= \cot^2 A \times \frac{1}{\operatorname {cosec}^{2} A}-\cos ^{2} A$ $=\frac{\cos^{2} A}{\sin^{2} A}\times \sin^{2} A-\cos^{2} A$ $=\cos^2 A-\cos^2 A$ $=0$ 因此证明完毕。
要做：我们必须证明 \( \frac{\cos \left(90^{\circ}-A\right) \sin \left(90^{\circ}-A\right)}{\tan \left(90^{\circ}-A\right)}=\sin ^{2} A \)。解答：我们知道，$\sin\ (90^{\circ}- \theta) = \cos\ \theta$ $\cos\ (90^{\circ}- \theta) = \sin\ \theta$ $\tan\ (90^{\circ}- \theta) = \cot\ \theta$ $\cot\ \theta=\frac{\cos\ \theta}{\sin\ \theta}$ 让我们考虑左边，$\frac{\cos \left(90^{\circ}-A\right) \sin \left(90^{\circ}-A\right)}{\tan \left(90^{\circ}-A\right)}=\frac{\sin A \cos A}{\cot A}$ $=\frac{\sin A \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A}}$ $=\frac{\sin A \cos A \times \sin A}{\cos A}$ $=\sin A \times \sin A$ $=\sin^2 A$ = 右边 因此证明完毕。阅读更多
要做：我们必须证明 $\sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)+\tan 1^{\circ} \tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \tan 70^{\circ} \tan 80^{\circ} \tan 89^{\circ}=1$。解答：我们知道，$\sin\ (90^{\circ}- \theta) = \cos\ \theta$ $\tan\ (90^{\circ}- \theta) = \cot\ \theta$ $\tan\ \theta \times \cot\ \theta=1$ 因此，$\sin \left(50^{\circ}+\theta\right)-\cos \left(40^{\circ}-\theta\right)+\tan 1^{\circ} \tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \tan 70^{\circ} \tan 80^{\circ} \tan 89^{\circ}$ $=\sin (90^{\circ}-(40^{\circ}-\theta))-\cos (40^{\circ}-\theta)+\tan 1^{\circ} \tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \tan (90^{\circ}-20^{\circ}) \tan (90^{\circ}-10^{\circ}) \tan (90^{\circ}-1^{\circ})$ $=\cos (40^{\circ}-\theta)-\cos (40^{\circ}-\theta)+\tan 1^{\circ} \tan 10^{\circ} \tan 20^{\circ} \cot 20^{\circ} \cot 10^{\circ} \cot 1^{\circ}$ $=(\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ})(\tan 10^{\circ} \cot 10^{\circ})(\tan 20^{\circ} \cot 20^{\circ})$ $=1\times1\times1$ $=1$ 因此证明完毕。阅读更多
已知：\( \frac{2}{3}\left(\cos ^{4} 30^{\circ}-\sin ^{4} 45^{\circ}\right)-3\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\sec ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{4} \cot ^{2} 30^{\circ} \)要做：我们必须计算 \( \frac{2}{3}\left(\cos ^{4} 30^{\circ}-\sin ^{4} 45^{\circ}\right)-3\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\sec ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{4} \cot ^{2} 30^{\circ} \)。解答：我们知道，$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$ $\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$ $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$ $\sec 45^{\circ}=\sqrt2$ $\cot 30^{\circ}=\sqrt3$ 因此，$\frac{2}{3}\left(\cos ^{4} 30^{\circ}-\sin ^{4} 45^{\circ}\right)-3\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\sec ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{4} \cot ^{2} 30^{\circ}=\frac{2}{3}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{4} -\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}\right] -3\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} -\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right] +\frac{1}{4}\left(\sqrt{3}\right)^{2}$ $=\frac{2}{3}\left[\left(\frac{3}{4}\right)^{2} -\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right] -3\left[\left(\frac{3}{4}\right) -( 2)\right] +\frac{1}{4}( 3)$ $=\frac{2}{3}\left[\left(\frac{9}{16}\right) -\left(\frac{1}{4}\right)\right] -3\left(\frac{3-2( 4)}{4}\right) +\frac{3}{4}$ $=\frac{2}{3}\left(\frac{9-1( 4)}{16}\right) -3\left(\frac{3-8}{4}\right) +\frac{3}{4}$ $=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{16}\right) -3\left(\frac{-5}{4}\right) +\frac{3}{4}$ $=\left(\frac{5}{3( 8)}\right) +\frac{15}{4} +\frac{3}{4}$ $=\frac{5}{24} +\frac{15+3}{4}$ $=\frac{5}{24} +\frac{18}{4}$ $=\frac{5( 1) +18( 6)}{24}$ $=\frac{5+108}{24}$ $=\frac{113}{24}$ 因此，$\frac{2}{3}\left(\cos ^{4} 30^{\circ}-\sin ^{4} 45^{\circ}\right)-3\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\sec ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{4} \cot ^{2} 30^{\circ}=\frac{113}{24}$。阅读更多
已知：\( 4\left(\sin ^{4} 30^{\circ}+\cos ^{4} 60^{\circ}\right)-\frac{2}{3}\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\cos ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{2} \tan ^{2} 60^{\circ}\) 求解：我们需要计算 \( 4\left(\sin ^{4} 30^{\circ}+\cos ^{4} 60^{\circ}\right)-\frac{2}{3}\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\cos ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{2} \tan ^{2} 60^{\circ}\)。解：我们知道，$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$，$\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt2}$，$\tan 60^{\circ}=\sqrt3$。因此，$4\left(\sin ^{4} 30^{\circ}+\cos ^{4} 60^{\circ}\right)-\frac{2}{3}\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\cos ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{2} \tan ^{2} 60^{\circ}=4\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{4} +\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\right] -\frac{2}{3}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} -\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right] +\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$=4\left[\left(\frac{1}{4}\right)^{2} +\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\right] -\frac{2}{3}\left[\left(\frac{3}{4}\right) -\left(\frac{1}{2}\right)\right] +\frac{1}{2}( 3)$$=4\left[\left(\frac{1}{16}\right) +\left(\frac{1}{16}\right)\right] -\frac{2}{3}\left(\frac{3-2}{4}\right) +\frac{3}{2}$$=4\left(\frac{1+1}{16}\right) -\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right) +\frac{3}{2}$$=4\left(\frac{2}{16}\right) -\frac{1}{6} +\frac{3}{2}$$=\left(\frac{1}{2}\right) -\frac{1}{6} +\frac{3}{2}$$=-\frac{1}{6} +\frac{1+3}{2}$$=-\frac{1}{6} +2$$=\frac{12-1}{6}$$=\frac{11}{6}$因此，\( 4\left(\sin ^{4} 30^{\circ}+\cos ^{4} 60^{\circ}\right)-\frac{2}{3}\left(\sin ^{2} 60^{\circ}-\cos ^{2} 45^{\circ}\right)+\frac{1}{2} \tan ^{2} 60^{\circ}=\frac{11}{6}\)。阅读更多
已知：\( \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}\) 求解：我们需要计算 \( \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}\)。解：我们知道，$sin\ (90^{\circ}- \theta) = cos\ \theta$，$\operatorname{cosec}\ (90^{\circ}- \theta) =\sec\ \theta$，$cos\ (90^{\circ}- \theta) = sin\ \theta$，$sin\ \theta \times \operatorname{cosec}\ \theta=1$。因此，$\frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}=\frac{\sin (90^{\circ}-40^{\circ})}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} (90^{\circ}-50^{\circ})}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos (90^{\circ}-40^{\circ}) \operatorname{cosec} 40^{\circ}$$=\frac{\cos 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\sec 50^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \sin 40^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}$$=1+1-4(1)$$=2-4$$=-2$因此，\( \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}=-2\)。阅读更多