计算
$ \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ} $

已知

$ \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ} $

要求

我们需要计算$ \frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ} $.

解：

我们知道：

sin (90° - θ) = cos θ

cosec (90° - θ) = sec θ

cos (90° - θ) = sin θ

sin θ × cosec θ = 1

因此：

$\frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}=\frac{\sin (90^{\circ}-40^{\circ})}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} (90^{\circ}-50^{\circ})}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos (90^{\circ}-40^{\circ}) \operatorname{cosec} 40^{\circ}$

$=\frac{\cos 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\sec 50^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \sin 40^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}$

$=1+1-4(1)$

$=2-4$

$=-2$

因此，$\frac{\sin 50^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 40^{\circ}}{\sec 50^{\circ}}-4 \cos 50^{\circ} \operatorname{cosec} 40^{\circ}=-2$

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更新于：2022年10月10日

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