计算
\( \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}+\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 80^{\circ}\right\} \)

已知

\( \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}+\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 80^{\circ}\right\} \).

解题步骤

我们需要计算 \( \frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}+\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 80^{\circ}\right\} \)。

解：

我们知道：

$\cos\ (90^{\circ}- \theta) = \sin\ \theta$

$\tan\ (90^{\circ}- \theta) = \cot\ \theta$

$\tan\ \theta \times \cot\ \theta=1$

因此，

$\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}+\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 80^{\circ}\right\}=\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos( 90^{\circ}-18^{\circ})} +\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\tan 40^{\circ}\tan( 90^{\circ}-40^{\circ})\tan( 90^{\circ}-10^{\circ})\right\}$

$=\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}} +\tan 10^{\circ}\tan 40^{\circ}\cot 40^{\circ}\cot 10^{\circ}$

$=1+( 1)( 1)$

$=1+1$

$=2$

所以，$\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}+\sqrt{3}\left\{\tan 10^{\circ} \tan 30^{\circ} \tan 40^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 80^{\circ}\right\}=2$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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