证明$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\tan 55^{\circ}$。

待办事项

我们必须证明$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\tan 55^{\circ}$。

解答

我们知道：

$\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$

$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}$

左边 (LHS)

$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}$

将分子和分母除以$\cos 10^{\circ}$，得到：

$\frac{\cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}-\sin 10^{\circ}}=\frac{1+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 10^{\circ}}$

$=\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ}\cdot\tan 10^{\circ}}$    ($\tan 45^{\circ}=1$)

$=\tan(45^{\circ}+10^{\circ})$

$=\tan 55^{\circ}$

$=$右边 (RHS)

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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