证明：\( \frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}{\sec 70^{\circ}}-2 \cos 70^{\circ} \operatorname{cosec} 20^{\circ}=0 \)

待办事项

我们需要证明$\frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}{\sec 70^{\circ}}-2 \cos 70^{\circ} \operatorname{cosec} 20^{\circ}=0$。

解答：  

我们知道：

$\sin\ (90^{\circ}- \theta) = \cos\ \theta$

$\sec\ (90^{\circ}- \theta) = \operatorname{cosec}\ \theta$

$\cos\ (90^{\circ}- \theta) = \sin\ \theta$

$\sin\ \theta \times \operatorname{cosec}\ \theta=1$

因此：

$\frac{\sin 70^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}{\sec 70^{\circ}}-2 \cos 70^{\circ} \operatorname{cosec} 20^{\circ}=\frac{\sin (90^{\circ}- 20^{\circ})}{\cos 20^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}{\sec (90^{\circ}- 20^{\circ})}-2 \cos (90^{\circ}- 20^{\circ}) \operatorname{cosec} 20^{\circ}$

$=\frac{\cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}}+\frac{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}{\operatorname{cosec} 20^{\circ}}-2 \sin 20^{\circ} \operatorname{cosec} 20^{\circ}$

$=1+1-2(1)$

$=2-2$

$=0$

证毕。 

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更新于：2022年10月10日

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