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已知：$cos θ=\frac{12}{13}$需要证明：$sin θ (1 – tan θ)=\frac{35}{156}$证明： 在一个直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$cos\ \theta = cos\ A=\frac{12}{13}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (13)^2=(12)^2+BC^2$$\Rightarrow BC^2=169-144$$\Rightarrow BC=\sqrt{25}=5$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$这意味着，让我们考虑左边，$sin\ \theta(1-tan\ \theta)=\frac{5}{13}(1-\frac{5}{12})$$=\frac{5}{13}(\frac{12-5}{12})$$=\frac{5}{13} \times \frac{7}{12}$$=\frac{35}{156}$$=$ 右边因此得证。 阅读更多
已知：$cot\ \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$需要证明：\( \frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5} \)证明： 在一个直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ cot\ \theta = cot\ A = \frac{1}{\sqrt{3}}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(1)^2+(\sqrt3)^2$$\Rightarrow AC^2=1+3$$\Rightarrow AC=\sqrt{4}=2$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$让我们考虑左边， $\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$$=\frac{1-\frac{1}{4}}{2-\frac{3}{4}}$$=\frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{8-3}{4}}$$=\frac{3}{5}$$=$ 右边因此得证。 阅读更多
已知：$tan\ \theta = \frac{1}{\sqrt7}$需要证明：\( \frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\sec ^{2} \theta}=\frac{3}{4} \)证明： 在一个直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ tan\ \theta = tan\ A = \frac{1}{\sqrt7}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$cosec\ \theta=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}$$ecs\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(\sqrt7)^2+(1)^2$$\Rightarrow AC^2=7+1$$\Rightarrow AC=\sqrt{8}=2\sqrt2$因此，$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt2}{1}=2\sqrt2$$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt7}$现在，让我们考虑左边，$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta-\sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta+\sec ^{2} \theta}=\frac{\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} -\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{2}}{\left( 2\sqrt{2}\right)^{2} +\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\right)^{2}}$$=\frac{8-\frac{8}{7}}{8+\frac{8}{7}}$$=\frac{\frac{56-8}{7}}{\frac{56+8}{7}}$$=\frac{48}{64}$$=\frac{3}{4}$$=$ 右边因此得证。 阅读更多
已知：$sec\ \theta = \frac{5}{4}$需要求：\( \frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta} \) 的值证明： 在一个直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$sec\ \theta = sec\ A=\frac{5}{4}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (5)^2=(4)^2+BC^2$$\Rightarrow BC^2=25-16$$\Rightarrow BC=\sqrt{9}=3$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$这意味着，让我们考虑左边，$\frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta}=\frac{\left(\frac{3}{5}\right) -2\left(\frac{4}{5}\right)}{\left(\frac{3}{4}\right) -\left(\frac{4}{3}\right)}$$=\frac{\frac{3-8}{5}}{\frac{3( 3) -4( 4)}{12}}$$=\frac{\frac{-5}{5}}{\frac{9-16}{12}}$$=\frac{-1}{\frac{-7}{12}}$$=\frac{12}{7}$\( \frac{\sin \theta-2 \cos \theta}{\tan \theta-\cot \theta} \) 的值为 \( \frac{12}{7} \)。 阅读更多
已知：$tan\ \theta = \frac{12}{13}$需要求：\( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} \) 的值证明： 在一个直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{12}{13}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(13)^2+(12)^2$$\Rightarrow AC^2=169+144$$\Rightarrow AC=\sqrt{313}$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{\sqrt{313}}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{13}{\sqrt{313}}$这意味着，$\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta}=\frac{2\times \left(\frac{12}{\sqrt{313}}\right) \times \left(\frac{13}{\sqrt{313}}\right)}{\left(\frac{13}{\sqrt{313}}\right)^{2} -\left(\frac{12}{\sqrt{313}}\right)^{2}}$$=\frac{\frac{312}{313}}{\frac{169-144}{313}}$$=\frac{312}{25}$\( \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta} \) 的值为 \( \frac{312}{25} \)。 阅读更多
(b) 小于 1 解释车辆上安装的后视镜产生的线性放大率 $(m)$ 小于 1 $(m而且，凸面镜总是形成比物体小的像，因此其线性放大率 $(m)$ 始终小于 1。在车辆中，安装凸面镜作为后视镜，因为它提供了更宽的视野，并且始终形成虚拟的、正立的、并且比物体小的多个物体的像。
(b) 32 厘米到 16 厘米之间解释已知：放大率，$m$ =$-$1.5这里，放大率带有负号 $(-)$，这意味着像是实像且倒立的。$\because m>1\Rightarrow $ 像的大小大于物体的大小。在凹面镜的情况下，上述两种情况只有当物体放置在焦点 $(F)$ 和曲率中心 $(C)$ 之间，且在镜前时才可能发生。
(c) 20 厘米 解释当一个物体放置在曲率半径 (R) 为 40 厘米的凹面镜前很远的地方时，这意味着物体位于无穷远处。并且，我们知道当物体位于无穷远处时，像会形成在焦点处。这里，像将在镜前 20 厘米处形成，这意味着焦距（焦点到极点的距离）为 20 厘米。这是因为曲率半径等于焦距的两倍 (R=2f)，或者焦距... 阅读更多
(d) 曲率中心以外 解释已知：放大倍数，m = -0.6这里，放大倍数带有正号 (-)，这意味着像是实像且倒立的。∵ m在凹面镜的情况下，上述两种情况只有当物体放置在镜前的曲率中心 (C) 以外时才可能。
(b) 曲率中心 解释已知：放大倍数，m = -1这里，放大倍数带有正号 (-)，这意味着像是实像且倒立的。∵ m=1⇒ 像的大小与物体的大小相同。在凹面镜的情况下，上述两种情况只有当物体放置在镜前的曲率中心 (C) 时才可能。