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凸面镜总是产生任何物体的虚像、正立且缩小的像。解释凸面镜中间向外弯曲的镜子。它也称为发散镜，因为当平行入射光线落到镜面上时，光线会发散，并提供更宽的视野。它总是形成虚像、正立且缩小的像，无论物体与镜面之间的距离如何。
给定：给定陈述为：tan \( A \) 的值总是小于 1。需要做的事情：我们必须说明给定陈述是真还是假。解决方案：$\tan\ A =\frac{与 A 对边的边}{与 A 邻边的边}$$=\frac{BC}{AB}$在三角形 ABC 中，$BC$ 可以大于 $AB$。因此，$\frac{BC}{AB}$ 可以大于 1。这意味着 $tan\ A$ 的值可以大于 1。给定陈述为假。
给定：\( \cos \theta=\frac{3}{5} \)需要做的事情：我们必须找到 \( \frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta} \) 的值。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$cos\ \theta = cos\ A=\frac{3}{5}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (5)^2=(3)^2+BC^2$$\Rightarrow BC^2=25-9$$\Rightarrow BC=\sqrt{16}=4$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{3}$$\Rightarrow \frac{1}{tan\ \theta}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$这意味着，$\frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta}=\frac{\left(\frac{4}{5}\right) -\left(\frac{3}{4}\right)}{2\left(\frac{4}{3}\right)}$$=\frac{\frac{4( 4) -3( 5)}{5( 4)}}{\frac{8}{3}}$$=\frac{\frac{16-15}{20}}{\frac{8}{3}}$$=\frac{1}{20} \times \frac{3}{8}$$=\frac{3}{160}$\( \frac{\sin \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \tan \theta} \) 的值为 \( \frac{3}{160} \)。 阅读更多
给定：\( \sin \theta=\frac{3}{5} \)。需要做的事情：我们必须求 \( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) 的值。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$sin\ \theta = sin\ A=\frac{3}{5}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (5)^2=AB^2+(3)^2$$\Rightarrow AB^2=25-9$$\Rightarrow AB=\sqrt{16}=4$因此，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$$\Rightarrow \frac{1}{tan\ \theta}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}$这意味着，$\frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta}=\frac{\left(\frac{4}{5}\right) -\left(\frac{4}{3}\right)}{2\left(\frac{4}{3}\right)}$$=\frac{\frac{3( 4) -5( 4)}{5( 3)}}{\frac{8}{3}}$$=\frac{\frac{12-20}{15}}{\frac{8}{3}}$$=\frac{-8}{15} \times \frac{3}{8}$$=\frac{-1}{5}$\( \frac{\cos \theta-\frac{1}{\tan \theta}}{2 \cot \theta} \) 的值为 \( \frac{-1}{5} \)。 阅读更多
给定：$tan\ \theta = \frac{24}{7}$。需要做的事情：我们必须找到 \( \sin \theta+\cos \theta \) 的值。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{24}{7}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(7)^2+(24)^2$$\Rightarrow AC^2=49+576$$\Rightarrow AC=\sqrt{625}=25$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{25}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{25}$这意味着，$sin \theta+\cos \theta=\frac{24}{25}+\frac{7}{25}$$=\frac{31}{25}$\( \sin \theta+\cos \theta \) 的值为 \( \frac{31}{25} \)。 阅读更多
给定：\( \sin \theta=\frac{a}{b} \)。需要做的事情：我们必须找到 \( \sec \theta+\tan \theta \) 的值。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ sin\ \theta = sin\ A = \frac{a}{b}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (b)^2=AB^2+(a)^2$$\Rightarrow AB^2=b^2-a^2$$\Rightarrow AB=\sqrt{b^2-a^2}$因此，$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$这意味着， $\sec \theta+\tan \theta= \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}+\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$$=\frac{a+b}{\sqrt{(b+a)(b-a)}}$$=\frac{a+b}{\sqrt{(b+a)(b-a)}}\times\frac{\sqrt{b+a}}{\sqrt{(b+a)}}$$=\frac{(a+b)\times\sqrt{b+a}}{\sqrt{(b+a)(b-a)}\times\sqrt{(b+a)}}$$=\frac{(a+b)\times\sqrt{b+a}}{(a+b)\times\sqrt{(b-a)}}$$=\sqrt{\frac{b+a}{b-a}}$$\sec \theta+\tan \theta$ 的值为 $\sqrt{\frac{b+a}{b-a}}$。 阅读更多
给定：\( 8 \tan A=15 \)。需要做的事情：我们必须找到 \( \sin A-\cos A \) 的值。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$8\ tan\ A = 15$。这意味着，$tan\ A=\frac{15}{8}$我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(8)^2+(15)^2$$\Rightarrow AC^2=64+225$$\Rightarrow AC=\sqrt{289}=17$因此，$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{17}$$cos\ A=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{17}$ 这意味着，$\sin A-\cos A=\frac{15}{17}-\frac{8}{17}$$=\frac{15-8}{17}$$=\frac{7}{17}$ $\sin A-\cos A$ 的值为 $\frac{7}{17}$。 阅读更多
给定：\( \tan \theta=\frac{20}{21} \)需要做的事情：我们必须证明 \( \frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1+\sin \theta+\cos \theta}=\frac{3}{7} \)。解决方案： 设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$\ tan\ \theta = tan\ A=\frac{20}{21}$。我们知道，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow AC^2=(21)^2+(20)^2$$\Rightarrow AC^2=441+400$$\Rightarrow AC=\sqrt{841}=29$因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{20}{29}$$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{21}{29}$让我们考虑 LHS，$\frac{1-\sin \theta+\cos \theta}{1+\sin \theta+\cos \theta}==\frac{1-\left(\frac{20}{29}\right) +\left(\frac{21}{29}\right)}{1+\left(\frac{20}{29}\right) +\left(\frac{21}{29}\right)}$$=\frac{\frac{29-20+21}{29}}{\frac{29+20+21}{29}}$$=\frac{50-20}{70}$$=\frac{30}{70}$$=\frac{3}{7}$$=$ RHS因此得证。 阅读更多
**已知：**\( \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2} \)。**求解：**我们需要求\( \frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A} \)的值。**解答：** 设在直角三角形$ABC$中，$\angle B$为直角，$cos\ A = \frac{\sqrt3}{2}$。我们知道，在以$B$为直角的直角三角形$ABC$中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$这里，$AC^2=AB^2+BC^2$$\Rightarrow (2)^2=(\sqrt3)^2+BC^2$$\Rightarrow BC^2=4-3$$\Rightarrow BC=\sqrt{1}=1$因此，$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$ $tan\ A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt3}$ 这意味着，$\frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt3}}+\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}$$=\sqrt{3}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt3}{2}}$$=\frac{\sqrt3}{1}+\frac{1}{2+\sqrt3}$$=\frac{\sqrt3(2+\sqrt3)+1(1)}{2+\sqrt3}$$=\frac{2\sqrt3+3+1}{2+\sqrt3}$$=\frac{2(2+\sqrt3)}{2+\sqrt3}$$=2$ \( \frac{1}{\tan A}+\frac{\sin A}{1+\cos A} \) 的值为 \( 2 \)。 阅读更多
**已知：**\( \angle A \) 和 \( \angle B \) 是锐角，且 \( \cos A=\cos B \)。**求解：**我们需要证明 \( \angle A=\angle B \)。**解答：** 设在直角三角形$ABC$中，$\angle C$为直角，$cos\ A = cos\ B$。我们知道，在以$C$为直角的直角三角形$ABC$中，根据三角函数定义，$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$$cos\ B=\frac{邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$这意味着，$\cos A=\cos B$$\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AB}$ $\Rightarrow AC=BC$我们知道，在三角形中，等边对等角。因此，$\angle A=\angle B$得证。 阅读更多