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已知：在直角三角形 ABC 中，∠A 为直角，tan C = √3。求解：求 sin B cos C + cos B sin C 的值。解：在直角三角形 ABC 中，∠A 为直角，tan C = √3。根据三角函数定义，在直角三角形中，sin B = AC/BC，cos B = AB/BC，sin C = AB/BC，cos C = AC/BC。这里，tan C = √3 = √3/1。BC² = AC² + AB² ⇒ BC² = 1² + (√3)² ⇒ BC² = 4 ⇒ BC = 2。因此，sin B = AC/BC = 1/2，cos B = AB/BC = √3/2，sin C = AB/BC = √3/2，cos C = AC/BC = 1/2。这意味着，sin B cos C + cos B sin C = (1/2) × (1/2) + (√3/2) × (√3/2) = 1/4 + 3/4 = 1。sin B cos C + cos B sin C 的值为 1。阅读更多
(a) 要获得 -3 的放大倍率，物体应放置在凹面镜前，曲率中心 (C) 和焦点 (F) 之间，才能获得 -3 的放大倍率。解释：已知：放大倍率 m = -3。这里，放大倍率为负号 (-)，这意味着像是实像且倒立的。因为 m>1 ⇒ 像的大小大于物体的大小。在凹面镜的情况下，上述两种情况只有当物体放置在镜前的曲率中心 (C) 和焦点 (F) 之间时才有可能。(b) 要获得…阅读更多
(a) 已知：这是一个凹面镜。像到镜子的距离 v = -20 cm (实像)；镜子的焦距 f = -10 cm。求解：物体的距离 u。解：根据镜面公式，我们知道：1/f = 1/v + 1/u。将给定值代入镜面公式中，我们得到：1/(-10) = 1/(-20) + 1/u。-1/10 = -1/20 + 1/u。1/u = 1/20 - 1/10 = -1/20。u = -20 cm。因此，物体应放置在距离镜子 20 厘米的地方以形成实像。(b) 已知：这是一个凹面镜。像到镜子的距离 v = +20 cm (虚像)；镜子的焦距 f = -10 cm。求解：物体的距离 u。解：根据镜面公式，…阅读更多
已知：凹面镜的焦距 (f) = -10 cm。求解：物体到镜子的距离 u。解：情况 1：像是实像，其放大倍率 m 为 -2。根据放大倍率公式，我们知道：m = -v/u。将给定值代入放大倍率公式中，我们得到：-2 = -v/u。-2u = -v。v = 2u。现在，根据镜面公式，我们知道：1/f = 1/v + 1/u。将给定值代入镜面公式中，我们得到：1/(-10) = 1/(2u) + 1/u。1/(-10) = 3/(2u)。2u = -30。u = -15 cm。因此，物体应放置在凹面镜前方 15 cm 处。情况 2：像是虚像，其放大倍率 m 为 +2。根据放大倍率公式，我们知道：m = -v/u。将给定…阅读更多
(a) 已知：像距 - 物距 (v-u) = 30 cm，则 v = 30 + u；放大倍率 m = 2。求解：镜子的位置。解：根据放大倍率公式，我们知道：m = -v/u。将给定值代入放大倍率公式中，我们得到：2 = -v/u，2u = -v，-2u = -(-v)，v = -2u…… (i)。将 'v' 的值代入等式 (i) 中，我们得到：30 + u = -2u，30 = -3u，u = -10 cm。因此，物体位于距透镜 10 cm 处。因此，镜子必须位于距物体 10 cm 处。现在，将…阅读更多
已知：给定表达式为 3/4 - 5/7 + 9/14。求解：化简给定表达式。解：3/4 - 5/7 + 9/14。分母不同，为了使它们相等，取最小公倍数。4、7、14 的最小公倍数是 28。因此，3/4 - 5/7 + 9/14 = (3×7)/(4×7) - (5×4)/(7×4) + (9×2)/(14×2) = 21/28 - 20/28 + 18/28。现在，分母相同。这意味着，21/28 - 20/28 + 18/28 = (21 - 20 + 18)/28 = 19/28。3/4 - 5/7 + 9/14 的值为 19/28。
$5m{s}^{-2}$ 代表加速度 $(a)$。因为 加速度 $(a)=\frac{速度变化 (m/s)}{时间(以s为单位)}$ 因此，加速度的单位将表示为 - $加速度 (a)=\frac{m/s}{s}$ $加速度 (a)=\frac{m}{s\times s}$ $加速度 (a)=\frac{m}{s^2}$ $加速度 (a)=m/s^2$ [斜杠(/) 代表除法] $加速度 (a)=m{s}^{-2}$ [当我们将分母与分子放在一起时，幂将用负号表示 $m{s}^{-2}$] 解释我们知道，加速度是速度变化除以时间。速度的单位是 m/s（表示 m 除以 s），因为速度等于位移除以时间。而位移的单位是米…… 阅读更多
已知：$tan\ θ = \frac{a}{b}$。求证：\( \frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \)证明：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$tan\ \theta = tan\ A = \frac{a}{b}$。根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$ $cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$ $tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$ 这里，$AC^2=AB^2+BC^2$ $\Rightarrow AC^2=(b)^2+(a)^2$ $\Rightarrow AC^2=b^2+a^2$ $\Rightarrow AC=\sqrt{a^2+b^2}$ 因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 因此，考虑左边， $\frac{a \sin \theta-b \cos \theta}{a \sin \theta+b \cos \theta}=\frac{a\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right) -b\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right)}{a\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right) +b\left(\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}\right)}$ $=\frac{\frac{a^{2} -b^{2}}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{a^{2} +b^{2}}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}$ $=\frac{a^{2} -b^{2}}{a^{2} +b^{2}}$ $=$ 右边 证毕。阅读更多
已知：$sec\ \theta = \frac{13}{5}$。求证：$\frac{2sinθ−3cosθ}{4sinθ−9cosθ} =3$证明：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90°$，$sec\ \theta = sec\ A=\frac{13}{5}$。根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$根据三角函数定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$ $cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$ $sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$ 这里，$AC^2=AB^2+BC^2$ $\Rightarrow (13)^2=(5)^2+BC^2$ $\Rightarrow BC^2=169-25$ $\Rightarrow BC=\sqrt{144}=12$ 因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$ $cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$ 因此，考虑左边， $\frac{2sinθ−3cosθ}{4sinθ−9cosθ}=\frac{2\left(\frac{12}{13}\right) -3\left(\frac{5}{13}\right)}{4\left(\frac{12}{13}\right) -9\left(\frac{5}{13}\right)}$ $=\frac{\frac{24-15}{13}}{\frac{48-45}{13}}$ $=\frac{9}{3}$ $=3$ $=$ 右边 证毕。阅读更多