如果$sec\ \theta = \frac{13}{5}$，证明$\frac{2sinθ−3cosθ}{4sinθ−9cosθ} =3$。

已知

$sec\ \theta = \frac{13}{5}$。

目标

我们需要证明$\frac{2sinθ−3cosθ}{4sinθ−9cosθ} =3$。

解：  

设在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90°$，$sec\ \theta = sec\ A=\frac{13}{5}$。

我们知道：

在以B为直角的直角三角形ABC中，

根据勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数定义：

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$

这里：

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow (13)^2=(5)^2+BC^2$

$\Rightarrow BC^2=169-25$

$\Rightarrow BC=\sqrt{144}=12$

因此：

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$

这意味着：

考虑左边：

$\frac{2sinθ−3cosθ}{4sinθ−9cosθ}=\frac{2\left(\frac{12}{13}\right) -3\left(\frac{5}{13}\right)}{4\left(\frac{12}{13}\right) -9\left(\frac{5}{13}\right)}$

$=\frac{\frac{24-15}{13}}{\frac{48-45}{13}}$

$=\frac{9}{3}$

$=3$

$=$ 右边

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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