如果$\cot \theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$，证明$\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5}$

已知

$cot\ \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

要求

我们必须证明$\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{3}{5}$。

解：  

假设在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B$ 为直角，$\ cot\ \theta = cot\ A = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

我们知道，

在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根据勾股定理，

$AC^2=AB^2+BC^2$

根据三角函数的定义，

$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$

$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$

这里，

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(1)^2+(\sqrt3)^2$

$\Rightarrow AC^2=1+3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{4}=2$

因此，

$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$

$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$

让我们考虑左边，

 $\frac{1-\cos ^{2} \theta}{2-\sin ^{2} \theta}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$

$=\frac{1-\frac{1}{4}}{2-\frac{3}{4}}$

$=\frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{8-3}{4}}$

$=\frac{3}{5}$

$=$ 右边

因此得证。

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更新时间： 2022年10月10日

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