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法学如果\( \sin \theta=\frac{a}{b} \)，用\( a \)和\( b \)表示\( \sec \theta+\tan \theta \)
已知
\( \sin \theta=\frac{a}{b} \).
求解
我们需要求\( \sec \theta+\tan \theta \)的值。
解：
设在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90^\circ$，$\ sin\ \theta = sin\ A = \frac{a}{b}$。
我们知道：
在以$B$为直角的直角三角形$ABC$中，
根据勾股定理：
$AC^2=AB^2+BC^2$
根据三角函数定义：
$sec\ \theta=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$
$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$
这里：
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow (b)^2=AB^2+(a)^2$
$\Rightarrow AB^2=b^2-a^2$
$\Rightarrow AB=\sqrt{b^2-a^2}$
因此：
$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$
这意味着：$\sec \theta+\tan \theta= \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}+\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$
$=\frac{a+b}{\sqrt{(b+a)(b-a)}}$
$=\frac{a+b}{\sqrt{(b+a)(b-a)}}\times\frac{\sqrt{b+a}}{\sqrt{(b+a)}}$
$=\frac{(a+b)\times\sqrt{b+a}}{\sqrt{(b+a)(b-a)}\times\sqrt{(b+a)}}$
$=\frac{(a+b)\times\sqrt{b+a}}{(a+b)\times\sqrt{(b-a)}}$
$=\sqrt{\frac{b+a}{b-a}}$
$\sec \theta+\tan \theta$的值为$\sqrt{\frac{b+a}{b-a}}$。
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