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已知：$tan\ θ = \frac{a}{b}$。求解：我们需要求 $\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值。解：在一个直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，$tan\ \theta = tan\ A = \frac{a}{b}$。我们知道，在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角比的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$。这里，$AC^2=AB^2+BC^2 \Rightarrow AC^2=(b)^2+(a)^2 \Rightarrow AC^2=b^2+a^2 \Rightarrow AC=\sqrt{a^2+b^2}$。因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。这意味着，$\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}= \frac{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} +\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}} -\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}} =\frac{\frac{b+a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}}{\frac{b-a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}} =\frac{a+b}{b-a}$。$\frac{cos\ θ+sin\ θ}{cos\ θ−sin\ θ}$ 的值为 $\frac{a+b}{b-a}$。阅读更多
已知：$3tan\ θ = 4$。求解：我们需要求 $\frac{4\ cos\ θ – sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}$ 的值。解：在一个直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，$tan\ \theta = tan\ A$。$3\ tan\ \theta = 4$，$tan\ \theta = tan\ A=\frac{4}{3}$。我们知道，在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角比的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$tan\ \theta=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$。这里，$AC^2=AB^2+BC^2 \Rightarrow AC^2=(3)^2+(4)^2 \Rightarrow AC^2=9+16 \Rightarrow AC=\sqrt{25}=5$。因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$。这意味着，$\frac{4\ cos\ θ – sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}=\frac{4\left(\frac{3}{5}\right) -\left(\frac{4}{5}\right)}{2\left(\frac{3}{5}\right) +\frac{4}{5}} =\frac{\frac{12-4}{5}}{\frac{6+4}{5}} =\frac{8}{10} =\frac{4}{5}$。$\frac{4\ cos\ θ-sin\ θ}{2\ cos\ θ+sin\ θ}$ 的值为 $\frac{4}{5}$。阅读更多
已知：$3\ cot\ \theta = 2$。求解：我们需要求 $\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}$ 的值。解：在一个直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，$cot\ \theta = cot\ A$。$3\ cot\ \theta = 2$，$cot\ \theta = cot\ A= \frac{2}{3}$。我们知道，在以 $B$ 为直角的直角三角形 $ABC$ 中，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角比的定义，$sin\ \theta=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$cos\ \theta=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$cot\ \theta=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$。这里，$AC^2=AB^2+BC^2 \Rightarrow AC^2=(2)^2+(3)^2 \Rightarrow AC^2=4+9 \Rightarrow AC=\sqrt{13}$。因此，$sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{13}}$，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{\sqrt{13}}$。这意味着，$\frac{4\ sin\ θ−3\ cos\ θ}{2\ sin\ θ+6\ cos\ θ}=\frac{4\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) -3\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)}{2\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) +6\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)} =\frac{\frac{12-6}{\sqrt{13}}}{\frac{6+12}{\sqrt{13}}} =\frac{6}{18} =\frac{1}{3}$。$\frac{4sin\ θ-3cos\ θ}{2sin\ θ+6cos\ θ}$ 的值为 $\frac{1}{3}$。阅读更多
(a) 光路图 - 显示当物体放置在凹面镜的主焦点外侧时图像是如何形成的。图像的大小是放大的，图像的位置在镜面的曲率中心 $(C)$ 之外，图像的性质是实像和倒像。(b) 如果物体远离镜面移动，图像将向镜面移动，其大小将逐渐减小。(c) 已知：物体距离，$u$= $-$24 cm；像距，$v$= $-$16 cm。求解：镜面的焦距 $(f)$，曲率半径… 阅读更多
已知：\( \sin \theta=\frac{\sqrt3}{2} \)求解：我们需要求其他三角比的值。解：在一个直角三角形 $ABC$ 中，直角在 $B$ 处，根据勾股定理，$AC^2=AB^2+BC^2$。根据三角比的定义，$sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}$，$cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}$，$tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}$，$cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}$，$sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}$，$cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}$。这里，设 $sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$，$AC^2=AB^2+BC^2 \Rightarrow (2)^2=(AB)^2+(\sqrt3)^2 \Rightarrow AB^2=4-3 \Rightarrow AB=\sqrt1=1$。因此，$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt3}{1}=\sqrt3$，$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt3}$，$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{1}=2$，$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt3}$。阅读更多
已知：\( \cos \theta=\frac{7}{25} \) 求解：我们需要求出其他三角函数的值。解答：我们知道，在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，\(AC^2=AB^2+BC^2\)根据三角函数定义：\(sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)\(cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)\(tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)\(cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}\)\(sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}\)\(cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}\)这里，设\(cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{25}\)\(AC^2=AB^2+BC^2\)\(\Rightarrow (25)^2=(7)^2+(BC)^2\)\(\Rightarrow BC^2=625-49\)\(\Rightarrow BC=\sqrt{576}=24\)因此，\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{25}\)\(tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{24}{7}\)\(cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{25}{24}\)\(sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{25}{7}\)\(cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{7}{24}\) 阅读更多
已知：\( \tan \theta=\frac{8}{15} \) 求解：我们需要求出其他三角函数的值。解答：我们知道，在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，\(AC^2=AB^2+BC^2\)根据三角函数定义：\(sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)\(cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)\(tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)\(cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}\)\(sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}\)\(cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}\)这里，设\(\tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{15}\)\(AC^2=AB^2+BC^2\)\(\Rightarrow AC^2=(15)^2+(8)^2\)\(\Rightarrow AC^2=225+64\)\(\Rightarrow AC=\sqrt{289}=17\)因此，\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{17}\)\(cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{17}\)\(cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{17}{8}\)\(sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{17}{15}\)\(cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{8}\) 阅读更多
已知：\( \cot \theta=\frac{12}{5} \) 求解：我们需要求出其他三角函数的值。解答：我们知道，在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，\(AC^2=AB^2+BC^2\)根据三角函数定义：\(sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)\(cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)\(tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)\(cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}\)\(sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}\)\(cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}\)这里，设\(\cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{5}\)\(AC^2=AB^2+BC^2\)\(\Rightarrow AC^2=(12)^2+(5)^2\)\(\Rightarrow AC^2=144+25\)\(\Rightarrow AC=\sqrt{169}=13\)因此，\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{13}\)\(cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{13}\)\(tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}\)\(cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{5}\)\(sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{13}{12}\) 阅读更多
已知：\( \sec \theta=\frac{13}{5} \) 求解：我们需要求出其他三角函数的值。解答：我们知道，在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，\(AC^2=AB^2+BC^2\)根据三角函数定义：\(sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)\(cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)\(tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)\(cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}\)\(sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}\)\(cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}\)这里，设\(sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{13}{5}\)\(AC^2=AB^2+BC^2\)\(\Rightarrow (13)^2=(5)^2+(BC)^2\)\(\Rightarrow BC^2=169-25\)\(\Rightarrow BC=\sqrt{144}=12\)因此，\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}\)\(cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}\)\(tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{5}\)\(cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{13}{12}\)\(cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{12}\) 阅读更多
已知：\(cosec\ \theta =\sqrt{10}\) 求解：我们需要求出其他三角函数的值。解答：我们知道，在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，\(AC^2=AB^2+BC^2\)根据三角函数定义：\(sin\ A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AC}\)\(cos\ A=\frac{邻边}{斜边}=\frac{AB}{AC}\)\(tan\ A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AB}\)\(cosec\ A=\frac{斜边}{对边}=\frac{AC}{BC}\)\(sec\ A=\frac{斜边}{邻边}=\frac{AC}{AB}\)\(cot\ A=\frac{邻边}{对边}=\frac{AB}{BC}\)这里，设\(cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{1}\)\(AC^2=AB^2+BC^2\)\(\Rightarrow (\sqrt{10})^2=(AB)^2+(1)^2\)\(\Rightarrow AB^2=10-1\)\(\Rightarrow AB=\sqrt{9}=3\)因此，\(sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)\(cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)\(tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}\)\(sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{3}\)\(cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{1}=3\) 阅读更多