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已知：在一个等差数列中，前 $n$ 项的和为 $\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$。要求：我们要求出给定等差数列的第 $25$ 项。解：$S_{n} =\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$当 $n=1$ 时，$S_{1} =\frac{3(1)^2}{2}+\frac{13}{2}(1)=\frac{3+13}{2}=\frac{16}{2}=8$因此，第一项 $a=8$当 $n=2$ 时，$S_{2} =\frac{3(2)^2}{2}+\frac{13}{2}(2)=\frac{12+26}{2}=\frac{38}{2}=19$$ \therefore$ 等差数列的第二项$=S_{2} -S_{1}$$=19-8$$=11$等差数列的公差，$d=$第二项 $-$ 第一项$=11-8=3$我们知道，$a_{n}=a+(n-1)d$$ \therefore a_{25}=8+( 25-1) \times 3$$=8+24\times 3$$=8+72$$=80$因此，给定等差数列的第 $25$ 项是 $80$。 阅读更多
已知：一个等差数列的前 $n$ 项的和是 $n^2$。要求：我们要求出给定等差数列的第 $10$ 项。解：$S_{n} =n^2$当 $n=1$ 时，$S_{1} =(1)^2=1$因此，第一项 $a=1$当 $n=2$ 时，$S_{2} =(2)^2=4$$ \therefore$ 等差数列的第二项$=S_{2} -S_{1}$$=4-1$$=3$等差数列的公差，$d=$第二项 $-$ 第一项$=3-1=2$我们知道，$a_{n}=a+(n-1)d$$ \therefore a_{10}=1+( 10-1) \times 2$$=1+9\times 2$$=1+18$$=19$因此，给定等差数列的第 $10$ 项是 $19$。
已知：能被 3 整除的自然数。要求：我们要求出 1 到 100 之间所有能被 3 整除的自然数之和。解：1 到 100 之间能被 3 整除的自然数为 \( 3,6,9, \ldots, 99 \)。该序列为等差数列。这里，\( a=3 \) 且 \( d=6-3=3 \) \( l=99 \)我们知道，$l=a+(n-1) d$ $\Rightarrow 99=3+(n-1) \times 3$ $\Rightarrow 99=3+3 n-3$ $\Rightarrow 99=3 n$$\Rightarrow n=\frac{99}{3}=33$ $\therefore n=33$$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ $=\frac{33}{2}[2 \times 3+(33-1) \times 3]$ $=\frac{33}{2}[6+32 \times 3]$$=\frac{33}{2}(102)$$=33 \times 51$$=1683$1 到 100 之间所有能被 3 整除的自然数之和为 $1683$。
已知： $1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$要求：利用数学归纳法证明 $1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{\left(3^{n}-1\right)}{2}$ 对所有 $n\epsilon N$ 成立。解：假设 $P ( n):1+3+3^2++3^{n-1}=\frac{( 3^n-1)}{2}$如果 $n=1$，$L.H.S.=1$$R.H.S.=\frac{( 3^1-1)}{2}=\frac{( 3^1)}{2}=\frac{( 2)}{2}=1$因此，$L.H.S.=R.H.S.$$P( n)$ 对 $n=1$ 成立。我们假设 $P( k)$ 成立$1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$ ............$( i)$对于 $P( k+1)$：$1+3+3^2+..+ 3^{( k+1)-1}=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$$1+3+3^2+...3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$ ........$( ii)$我们应该从 $P( k)$ 推导出 $P( k+1)$，即从 $( i)$ 推导出 $( ii)$从 $( i)$， $1+3+3^2+..+ 3^{k-1}=\frac{( 3^k-1)}{2}$ 两边同时加上 $3^k$ $1+3+3^2+..+3^{k-1}+3^k=\frac{( 3^k-1)}{2}+3^k$$=\frac{( 3^k-1)+2( 3^k))}{2}$$=\frac{( 3^k-1+2(3^k)}{2}$$=\frac{( 3(3^k)-1)}{2}$$=\frac{( 3^{k+1}-1)}{2}$ 因此，$1+3+3^2+..3^{k-1}+3^{k}=\frac{( 3^{k+1})-1)}{2}$ 因此我们发现，当 $P( k)$ 成立时，$P( k+1)$ 总是成立。根据数学归纳法的原理，… 阅读更多
希腊哲学家亚里士多德观察到一些实际事件，并得出结论，即“只有当存在阻力（如摩擦力和粘滞力）时，才需要外力来使物体保持匀速运动状态”。这一说法被称为亚里士多德的谬误。然而，在自然界中，这些阻力总是存在的，因此，我们确实需要外力来克服它们。例如：球在地板上滚动一段时间后会停止，这是由于摩擦力的作用。
已知：前 $n$ 个奇数自然数。要求：我们要求出前 $n$ 个奇数自然数之和。解：前 $n$ 个奇数自然数为 $1, 3, 5, ....., n$。上述序列为等差数列，其中 $a=1, d=5-3=2$等差数列前 $n$ 项的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$因此，前 $n$ 个奇数自然数之和为，$S_{n}=\frac{n}{2}[2(1)+(n-1)2]$$=\frac{n}{2} \times 2(1+n-1)$$=n(n)$$=n^2$因此，前 $n$ 个奇数自然数之和为 $n^2$。
已知：0 和 50 之间的奇数。要求：我们要求出 0 和 50 之间所有奇数之和。解：0 和 50 之间的奇数为 \( 1,3,5,7, \ldots, 49 \)。该序列为等差数列。这里，\( a=1 \) 且 \( d=3-1=2 \) \( l=49 \)我们知道，$l=a+(n-1) d$$\Rightarrow 49=1+(n-1) \times 2$$\Rightarrow 49=1+2 n-2$$\Rightarrow 49+1=2 n$$\Rightarrow n=\frac{50}{2}=25$$\therefore n=25$我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$=\frac{25}{2}[2 \times 1+(25-1) \times 2]$$=\frac{25}{2}[2+24 \times 2]$$=\frac{25}{2}(50)$$=25 \times 25$$=625$0 和 50 之间所有奇数之和为 $625$。
已知：100 和 200 之间的奇数。要求：我们要求出 100 和 200 之间所有奇数之和。解：100 和 200 之间的奇数为 \( 101,103,105,107, \ldots, 199 \)。该序列为等差数列。这里，\( a=101 \) 且 \( d=103-101=2 \) \( l=199 \)我们知道，$l=a+(n-1) d$$\Rightarrow 199=101+(n-1) \times 2$$\Rightarrow 199=101+2 n-2$$\Rightarrow 199-99=2 n$$\Rightarrow n=\frac{100}{2}=50$$\therefore n=50$我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$=\frac{50}{2}[2 \times 101+(50-1) \times 2]$$=25[202+49 \times 2]$$=25(202+98)$$=25 \times 300$$=7500$100 和 200 之间所有奇数之和为 $7500$。
已知：1 和 1000 之间的奇整数要求：我们要求证明 1 和 1000 之间所有能被 3 整除的奇整数之和为 83667。解：1 和 1000 之间所有能被 3 整除的奇整数为 \( 3,9,15 \ldots, 999 \)。该序列为等差数列。这里，\( a=3 \) 且 \( d=9-3=6 \) \( l=999 \)我们知道，$l=a+(n-1) d$$\Rightarrow 999=3+(n-1) \times 6$$\Rightarrow 999=3+6 n-6$$\Rightarrow 999+3=6 n$$\Rightarrow n=\frac{1002}{6}=167$$\therefore n=167$$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$=\frac{167}{2}[2 \times 3+(167-1) \times 6]$$=\frac{167}{2}[6+166 \times 6]$$=\frac{167}{2}(1002)$$=167 \times 501$$=83667$1 和 1000 之间所有能被 3 整除的奇整数之和为 $83667$。
已知：84 和 719 之间所有 5 的倍数的整数。要求：我们要求出 84 和 719 之间所有 5 的倍数的整数之和。解：84 和 719 之间所有 5 的倍数的整数为 \( 85,90,95, \ldots, 715 \)。该序列为等差数列。这里，\( a=85 \) 且 \( d=90-85=5 \) \( l=715 \)我们知道，$l=a+(n-1) d$$\Rightarrow 715=85+(n-1) \times 5$$\Rightarrow 715=85+5n-5$$\Rightarrow 715-80=5 n$$\Rightarrow n=\frac{635}{5}=127$$\therefore n=127$$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$=\frac{127}{2}[2 \times 85+(127-1) \times 5]$$=\frac{127}{2}[170+126 \times 5]$$=\frac{127}{2}(800)$$=127 \times 400$$=50800$84 和 719 之间所有 5 的倍数的整数之和为 $50800$。