韦恩图，由约翰·韦恩于 1880 年发明，是一种示意图，显示了不同数学集合之间所有可能的逻辑关系。示例集合运算集合运算包括集合并集、集合交集、集合差、集合补集和笛卡尔积。集合并集集合 A 和 B 的并集（用 A ∪ B 表示）是指在 A 中、在 B 中或同时在 A 和 B 中的元素的集合。因此，A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }。示例 - 如果 A = { 10, 11, 12, 13 } 且 B = { 13, 14, 15 }, ... 阅读更多

为了从我们已经知道的真值的陈述中推导出新的陈述，使用推理规则。谓词演算的推理规则有什么用？数学逻辑通常用于逻辑证明。证明是有效的论证，确定数学陈述的真值。论证是一系列陈述。最后一个陈述是结论，所有其前面的陈述称为前提（或假设）。符号“∴”（读作因此）放在结论之前。有效论证是指结论遵循前提真值的论证。推理规则为构建有效论证提供模板或指南…… 阅读更多

有根树有根树 G 是一个连通的无环图，它有一个特殊的节点称为树的根，并且每条边都直接或间接地起源于根。有序有根树是有根树，其中每个内部顶点的子节点都是有序的。如果一个有根树的每个内部顶点最多有 m 个子节点，则称为 m 元树。如果一个有根树的每个内部顶点恰好有 m 个子节点，则称为完全 m 元树。如果 m = 2，则有根树称为二叉树。二叉…… 阅读更多

关系可以使用有向图来表示。图中的顶点数等于定义关系的集合中的元素数。对于关系 R 中的每个有序对 (x, y)，将有一条从顶点“x”到顶点“y”的有向边。如果存在有序对 (x, x)，则顶点“x”上将有一个自环。假设，在集合 S = { 1, 2, 3 } 上存在一个关系 R = { (1, 1), (1,2), (3, 2) }，它可以用以下图形表示 -

主要有两种方法可以表示一个图 -邻接矩阵邻接表邻接矩阵邻接矩阵 A[V][V] 是一个大小为 V × V 的二维数组，其中 $V$ 是无向图中顶点的数量。如果 Vx 和 Vy 之间存在一条边，则 A[Vx][Vy]=1 且 A[Vy][Vx]=1，否则值为零。对于有向图，如果 Vx 和 Vy 之间存在一条边，则 A[Vx][Vy]=1，否则值为零。无向图的邻接矩阵让我们考虑以下无向图并构造邻接矩阵 -…… 阅读更多

集合的元素之间可能存在关系，或者两个或多个集合的元素之间可能存在关系。定义和性质从集合 x 到 y 的二元关系 R（写成 xRy 或 R(x, y)）是笛卡尔积 x × y 的子集。如果 G 的有序对被反转，关系也会发生变化。通常，集合 A1，...，\ 和\ An 之间的 n 元关系 R 是 n 元积 A1 × ... × An 的子集。在这种情况下，关系 R 的最小基数为零，最大基数为 n2。集合上的二元关系 R…… 阅读更多

谓词演算处理谓词，谓词是包含变量的命题。谓词谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。通过为变量赋值或量化变量，可以将包含变量的谓词变为命题。考虑以下陈述。Ram 是一个学生。现在考虑谓词演算中的上述陈述。这里“是一个学生”是一个谓词，而 Ram 是主语。让我们将“Ram”表示为 x，将“是一个学生”表示为谓词 P，然后我们可以将上述陈述写成 P(x)。通常，用谓词表达的陈述必须在…… 阅读更多

集合 S 的幂集是 S 的所有子集的集合，包括空集。基数为 n 的集合 S 的幂集的基数为 2n。幂集表示为 P(S)。示例 -对于集合 S = { a, b, c, d }，让我们计算子集 -具有 0 个元素的子集 - { ∅ }（空集）具有 1 个元素的子集 - { a }, { b }, { c }, { d }具有 2 个元素的子集 - { a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, ... 阅读更多

平面图 - 如果一个图 G 可以绘制在平面上而不存在任何边交叉，则称其为平面图。如果我们在平面上绘制图而不使边交叉，则称为将图嵌入平面。非平面图 - 如果一个图不能绘制在平面上而不使图边交叉，则称其为非平面图。

如果一个图“G”可以绘制在平面或球体上，使得任何两条边都不在非顶点处交叉，则称该图“G”为平面图。示例区域每个平面图将平面划分为称为区域的连通区域。示例有界区域 r 的度数 = deg(r) = 包围区域 r 的边的数量。deg(1) = 3 deg(2) = 4 deg(3) = 4 deg(4) = 3 deg(5) = 8无界区域 r 的度数 = deg(r) = 包围区域 r 的边的数量。deg(R1) = 4 deg(R2) = 6在平面图中，以下性质成立 -1. 在…… 阅读更多