大数据分析 - K均值聚类

k均值聚类旨在将n个观测值划分为k个聚类，其中每个观测值属于具有最近均值的聚类，该均值作为聚类的原型。这导致数据空间被划分为Voronoi单元。

给定一组观测值(x₁, x₂, …, x_n)，其中每个观测值都是一个d维实数向量，k均值聚类旨在将n个观测值划分为k组G = {G₁, G₂, …, G_k}，以最小化如下定义的聚类内平方和 (WCSS)：

$$argmin \: \sum_{i = 1}^{k} \sum_{x \in S_{i}}\parallel x - \mu_{i}\parallel ^2$$

后面的公式显示了为了找到k均值聚类中的最佳原型而最小化的目标函数。该公式的直觉是我们希望找到彼此不同的组，并且每个组的每个成员都应该与每个聚类的其他成员相似。

以下示例演示了如何在R中运行k均值聚类算法。

library(ggplot2)
# Prepare Data 
data = mtcars  

# We need to scale the data to have zero mean and unit variance 
data <- scale(data)  

# Determine number of clusters 
wss <- (nrow(data)-1)*sum(apply(data,2,var)) 
for (i in 2:dim(data)[2]) { 
   wss[i] <- sum(kmeans(data, centers = i)$withinss) 
}  

# Plot the clusters 
plot(1:dim(data)[2], wss, type = "b", xlab = "Number of Clusters", 
   ylab = "Within groups sum of squares")

为了找到K的一个好值，我们可以绘制不同K值的组内平方和。该指标通常随着添加更多组而减少，我们希望找到组内平方和的减少开始缓慢减少的点。在图中，该值最好由K = 6表示。

现在K的值已经确定，需要使用该值运行算法。

# K-Means Cluster Analysis
fit <- kmeans(data, 5) # 5 cluster solution 

# get cluster means  
aggregate(data,by = list(fit$cluster),FUN = mean) 

# append cluster assignment 
data <- data.frame(data, fit$cluster)